不等式例讲（A）解答.doc

【代数十讲】
不等式例讲A解答
陶平生

基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法．

、设，证明：．
证一：局部放缩法，据对称性，不妨设，，由于

，则

．因此结论成立，
取等号当且仅当．
证二：结构转换法，令，则，而
，由于中任两数之和大于第三数，故以
为边长可以构成一个三角形，设其面积为，外接圆半径为，内切圆半径为，条件化为，，
即，也即，
所以，即，得 ……①
又由，得，于是所证式化为，，即
，也即，由此，，
即，也即 ……②
今证②，注意本题的等号在相等时取到，此时为正三角形，当有，
据此，将②式左边写作，，为证②，只要证，
，即 ……③
由条件，即，由正弦定理，化为
……④
由于在中，有，故由④得，即③成立，
因此结论得证．
、设，，证明：．
证一、显然，据条件式
，即，也即，令，
此式化为，当时取等号．
证二、三角方法，令，条件式成为 …①
由此，，改记，其中为锐角，①成为，
…… ②，我们先来证明，为一个锐角三角形的三个内角．据②，，
即　……　③，
由此知，是关于的一元二次方程③的两个根，从而③化为
，因为，故得
，所以，即．因此为一个锐角三角形的三个内角．；而在中，有，
即有，也即．
、设正数满足：，证明：．
证：令，则，条件化为
……①，待证结论成为： …… ②
据①知，三个正数，必有一数，也必有一数，另一数要么，要么；总之，三个正数，有两个在的同侧，另一个在异侧，不妨设，在的同侧，则
，于是，今考虑另一数，
据①， ……③，于是
，
所以，，即，
据②，即要证，，也即
…… ④
由于④左边，
而④右边，故④成立，从而结论得证．
、锐角三角形中，证明：

证：由于，……①
以及
，因此，，……②
同理有，，…… ③
故

．
当且仅当时取得等号，故结论得证．
、设为正数，满足：，证明：
．
证：将条件离散化，令，
则，
类似得，，
，
，，于是即要证,
…①
两边各加，即
…②．
记，
，则
，
于是由柯西不等式，，即，故②成立，因此结论得证．
、设的系数为正数，满足：，
证明：对于满足的任一组正数，成立不等式：
．
证：先证引理：对任意正数，成立不等式．
事实上，据柯西不等式，
，故引理成立．
回到本题，我们指出，若不是的方幂，则可在数组中补加若干个，使得数组中恰有个数，这时数组中的各数之积仍为，且因，可知所得的结果并不失去一般性；
为方便计，不妨就设，则由引理，

．
、设为正数，满足：对每个，都有；
证明：．
证：对每个，，
则，
记 ，
则，设，其中，
得，，
相减得，
所以．
、设，记，
求证：．
证：设，将其视为的二次函数，整理得，
，它的两根为，于是

……①
由于，
，，
则
……②
又 ……③
据以上三式得 ，即．
、设，且，
求证：．
证一、由于

　 … ①
这里用到，
，
所以，即，同理
，，相加得

因此由①得．
证二、 令 ，且,

同理 因此
，注意到

所以
、设，证明：在与中，必有一个大于．
证：用反证法，若，，记，即有
，，所以

因此，，平方相加得，
，所以，即，
另一方面，因，得，故，导致，矛盾！
从而结论得证．
、设正实数满足：，求证：对于整数，有
．
证明：配凑法，因为 ,所以
．同理可得 ，
．三式相加可得

．
、设正整数，，约定，试求
的最大值．
解：仍采用配凑法，由于
；所以
，当时取得等号．
、设，，
证明：．
证：，
故即要证，……①．
据对称，可设，由于，……②；
同理有，……③，
……④
注意，而 ，又由
知，，即有
，从而由②+③+④得，
，即①成立，当且仅当时取得等号．从而所证结论成立．
、设为个非负实数，证明：

证：对归纳，时结论成立；设时对于任意个非负实数结论都成立，当
时，对于任意个非负实数，先将视为一个数，利用归纳假设，

… …，只要证，
. 平方整理只要证，
……，
显然 ，故成立.因此

即时结论也成立. 故由归纳法，结论得证.
、设为正数，证明不等式：
．
证一：令，，，由于，，中，任两数之和大于第三数，则以为边，可构成一个锐角三角形，于是，
，，代入所证式两端，并约去公因式，即要证，在锐角三角形中，
……①
由于 …… ②　　以及
同理有， ……③
所以，

故①成立，因此结论成立。
（证法２）：令由于三数中，任两数之和大于第三数，则以为边，可构成一个锐角三角形,于是
代入所证式两端，并约去公因式，即要证，在锐角三角形中，
……①
令，，，则
且，而，，

①式成为　　…④
两端通乘，即要证：

　…⑤
因为
所以 ＝
＝，
同理有，，
；
三式相加，⑤式左边
，
⑤式右边=

因此⑤式成立，故③成立，从而结论成立．
、在中，证明不等式：

证：左边

．
以上用到，在中，（注），所以
．
因此， ．
从而所证的不等式成立，取等号当且仅当,此时为正三角形．
（注）

．
、在锐角三角形中，证明：
．
证：由于

；同理有
；
．
因此所证不等式化为：

……①．
令，则，而

，同理，

．于是只要证
……②．注意 ；
，；
②化为 ……③
此式关于对称，故可设，，由于
；
；．
即要证， …… ④
因为 ，
，
故④成立，因此结论得证．
证二：据对称性，不妨设，则，
所以，
，则
，于是

；因，所以．
、设实数，求函数
的最小值．
解：显然没有上界，这是由于，当时，，
又注意是一个零次齐次函数，且当时，的值为．
以下证明，对于满足条件的任何正数均有，即要证
……
据条件，设
则 式化为：

……
活化一个常量，改记1为，且设

则 皆为的四次多项式，而 为的二次多项式．
记
为证式成立，即要证，于是只要证，，，．
易知，

．

．以上用到，
，，以及．
．以上用到，
．
故.因此，函数的最小值是．
、给定正数以及正整数，证明：对于满足条件
（约定）的任意个正数，成立不等式：．
证：令，则由条件得，，所证不等式化为： … ①
对于满足条件的任意个正数，可重新编号，排成：
，且．（见附证）
由于①式关于诸变元对称，不妨就设．
先证引理： … ②
引理证明：由于

因为 ，所以
，即
，也即
，故②成立．
回到本题，为证①式，对归纳．
、时，即要证， … ③
因为
… ④
由于，又由引理得，所以
，即④的右端非负，从而③成立．
、设时结论成立，即，
记，即；
当时，欲证， … ⑤
即要证，；
由归纳假设，因此只要证，，
即要证， … ⑥
利用引理，于①式中分别令，得到
，
，
…… … …
；
相加得，
即，即⑥成立，也就是时结论成立；
故由归纳法，对于所有，结论成立．
【附证】设为正数，，，则这个数可以适当编号，排成，使．
证：对归纳，对于两个数，如果，则令，已合要求；
若，则令，显然有，假若在时，个数可以排成，使，对于个数
，因它与之差，即与中的某个数之差；
若，则记；若，则位于由所形成的个区间的某一个内，由于每个区间之长，故点插入后，每相邻两点间的距离也，将这个点自小到大重新编号为，则显然有．
、从个正数中，每次取个作乘积，将所有这种乘积的算术平均值的次方根，称为这个正数的次对称平均，记为，即 ：
＝.
证明：若，则有.
证：记＝，为便于表达，定义＝１,
先证明，（）.　　　……(*)
对的个数归纳. 时，对于任意两个正数，
，
显然有　即,此时（*）成立.
时，对于任意三个正数，，，，
，，显然有
，即，
类似地，由于对任意正数，有，
在此式中，若令，，,
则化为 ,即.
今设命题（*）在时成立，即对任何给定的个正数
以及所有正整数（），（*）式均成立，
当，对于个正数，
记{}，{}，将集中所有个元
之积记为，则=+，于是
==+=+
=+.
分别将，改记为及，则上式成为
=+ …① 于是

（+）（+） …
整理②式并表为： （） …
其中：
.

（-）.
（此处注意==，以及
）.

.
因此③成为 .
从而对任意个正数，以及满足的正整数，
有.
当时，有
，
=，
，
欲证>，即
即.
此即对m个数，，…，的.
（据上述归纳法中情形已证得）
因此对，命题（*）也成立.
回到本题，据， ,
可得，. …④
则，将其与相乘，得，即.
由得 …⑤
④×⑤ ，故.
从而，若，则有.
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