直线与圆的位置关系(教师版).doc

专题复习十七

第十七讲 直线与圆的位置关系
一、知识梳理：
1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：
①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则 ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交
2.两圆的的位置关系
(1)设两圆半径分别为，圆心距为d
若两圆相外离，则 ，公切线条数为4
若两圆相外切,则，公切线条数为3
若两圆相交，则，公切线条数为2
若两圆内切，则，公切线条数为1
若两圆内含，则，公切线条数为0
(2) 设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是
3. 相切问题的解法：
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1
③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解。
特殊地,已知切点,圆的切线方程为,
圆的切线方程为
4.圆系方程
①以点为圆心的圆系方程为
②过圆和直线的交点的圆系方程为
③过两圆，的交点的圆系方程为（不表示圆）
二、基础检测：
1.设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A.相切 B.相交
C.相切或相离 D.相交或相切
[解析]圆心到直线的距离为d=，圆半径为.∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C
2. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为
A. B. C. D.
[解析]A. 以线段为直径的圆的方程为，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得，这是经过两切点的直线方程
3.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在直线上,则的值是( ) A．-1 B．2 C．3 D．0
解析:两点关于直线对称,, 线段的中点(3,1)在直线上,
4.圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
[解析] 的圆心为(1,0),半径为，选C
5.将圆按向量平移后,恰好于直线相切,则实数的值为（ 　） A． B． C． D．
[解析]B 平移后圆的方程为,则
6.若函数的图像在处的切线l与圆相离，则点与圆的位置关系是（ 　） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定
解析B. ，，切线l的方程为
即，圆心到切线l的距离为，点在圆内
7. 已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是（ 　） A.1 B.2 C.3 D.4
解析: 由的面积为知,点到直线的距离为1, 直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为和，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,所以圆与直线相切与直线相交, 满足条件的点的个数是3
y
x
O
A
B
8、已知曲线，点及点，以点观察点，要使视线不被曲线挡住，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
[解析] A [由图可以得到切线AB的斜率为]

9.已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ 　） A．相交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离
解析D. ，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离
10. 若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是( )
A． B．
C． D．
解析:公共弦所在的直线方程为
圆始终平分圆的周长
圆的圆心在直线上
即
11. 过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,则点的轨迹方程为（ 　）
A． B． C． D．
[解析]设,过点的切线方程为,过点的切线方程为,而两切线都过点,,直线的方程为,直线经过点,,换为得
12.直线被圆截得的弦长为______________。
【解析】直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
13.若圆与圆的公共弦长为，则a=________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1.

三、典例导悟：
14、 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点
(1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程 (2)求四边形的面积的最小值 (3)若，求直线的方程
【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件
解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，
或0，切线、的方程分别为和
（2），
（3）设与交于点，则
，在中，，
即 设，则
直线的方程为或
【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化
15、已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
[解析]（1）解法1：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
∵m∈R，∴
得
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，
即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
解法2：圆心到直线的距离，
，所以直线l恒与圆C相交于两点
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.
【名师指引】明确几点：
（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦
16、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程
解析：设所求圆的圆心为，则
解得：，所求圆的方程为
解法2：设所求圆的圆心为，由条件知
，所求圆的方程为
【名师指引】（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。
17、已知点A（–2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足，
（1）求曲线C的方程；
（2）若过定点M（0，–2）的直线l与曲线C有交点，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）若动点Q（x，y）在曲线C上，求的取值范围.
[解析]（1）设P（x，y），，得
P点轨迹(曲线C)方程为，即曲线C是圆.
（2）可设直线l方程为，其一般方程为：由直线l与曲线C有交点，得，得，即所求k的取值范围是;
（3）由动点Q（x，y），设定点M（0，–2），则直线QM的斜率为：，又点Q在曲线C上，故直线QM与圆有交点，由（2）结论，得kQM的取值范围是，
∴u的取值范围是.
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