转动惯量的另一种解法.docx

求物体转动惯量的另一种解法
王昊天 班号 03111001(车辆工程一班) 学号 1120100496

摘要: 本文通过对地球转动惯量的讨论，引出一种解决刚体在公转过程中同也在自转时的转动惯量的求法。
关键字: 转动惯量、自转惯量、公转惯量。
1、 引言
关于转动惯量的求法，《大学物理》已经做了详细的阐述。书中主要涉及了两种情况：转轴通过质心，以及转轴不通过转动中心。但是，这是否包含所有情况呢？答案是否定的。
举一个简单的例子：地球围绕太阳旋转（假定地球自转不受太阳的影响，且地球半径不忽略，地球公转轨道为圆形），此时地球的转动惯量如何求解呢？假设地球半径为r,质量为M，公转半径为R，若按照常规解法，运用平行轴定理，很容易得到 J=25Mr2+MR2。但是根据转动惯量的定义:“刚体由N个质点组成，绕z轴旋转，……”，显然地球的例子就不适应了，因为地球不但有公转还有自转，严格意义上讲，地球上的每个质点绕太阳旋转的轨迹不再是圆，而是一种复杂的摆线，从而传统的平行轴定理是错误的。下面我将介绍另一种自创的方法，当然不一定正确，但是由生活经验来看，也是有一定道理的。
2、 介绍
首先，定义两种惯量：
自转惯量J’ :刚体围绕通过其质心的轴转动时的转动惯量。
公转惯量J’’：将刚体抽象为质点时围绕某一转轴的转动惯量。
认为:任何旋转的物体,其转动惯量J=J’+J’’。下面进行证明。
证：
对于质点
假设某一质点绕某一转轴旋转，
情况一：转轴通过质点；
J’=0，J’’=0,J=J’+J’’=0;
显然公式成立。
情况二：转轴不通过质点，且质点距转轴为R,
J’=0，J’’=MR2,J=MR2,
显然公式成立。
对于细杆
假设某一细杆，长度为l，质量为m。
情况一：转轴通过细杆质心，显然成立。
情况二：转轴不通过细杆质心，质心距转轴为l2，
J’=112ml2, J’’=14ml2，J=J’+J’’=13ml2,显然成立。
同理可证，当物体为圆环，圆盘，薄球壳，球体时，应用平行轴定理都可证明公式成立。

对于地球这种既有自转又有公转的刚体，公式同样适用。
首先，我们要先讨论自转惯量的存在条件。

假设一物体如图所示，

情况一：其圆盘部分相对于盘的中心轴固定不动。
俯视圆盘，以盘中心为参考系，以图中位置为起点，按照时间顺序选取四个不同的位置：

1 2 3 4
显然，圆盘相对于轴是在自转的，但是它的自转不是自由的，圆盘与支撑杆间是固定的，不能转动的。此时，我们说，此圆盘具有转动惯量。
情况二：圆盘可以绕中心轴无摩擦的旋转，且圆盘相对于轴静止，无自转。
同样取四个位置：

显然，圆盘保持静止，并没有因支撑杆的运动改变状态。假如给圆盘一个初始的转动惯量，使其自转，那么，它的自转也不会被影响，即圆盘的转动时自由的，是不受其公转影响的。这可以由动量守恒定理证出，此处不再赘述。此时，我们说圆盘不具有自转惯量。

有了上述讨论，求地球的转动惯量就容易了。
即J=MR2。
关于此结果的正确性，以本人的能力就无法验证了。

下面，举例说明此定理的应用。
例1 一双星系统由两颗行星组成，一颗行星质量为M1，另一颗为M2，其间距离为R，求：两颗行星的转动惯量。
解：设质量为M1的行星公转半径为R1，质量为M2的行星公转半径为R2，则有

M1R1=M2R2;
R1+R2=R;
得：R1=M2RM1+M2 R2=M1RM1+M2
行星无自转惯量，只有公转惯量。
故，J1=M1(M2RM1+M2)2
J2=M2(M1RM1+M2)2
例2

如图，支撑杆水平部分质量为M，长度为l，垂直部分质量为M’，长度为l’，圆盘半径为R，质量为m，求（1）圆盘部分可以绕其中心轴无摩擦的转动时的转动惯量。（2）圆盘部分与中心轴固定时的转动惯量。
解：
（1） 支撑杆水平部分：自转惯量J’=112Ml2，公转惯量J’’=14 Ml2，
J= 112Ml2+14Ml2=13Ml2
支撑杆垂直部分：自转惯量为0，公转惯量为J’’=M'l2，
则 J=M'l2
圆盘部分：自转惯量为0，公转惯量为J’’=mR2，
故，转动惯量为：J=13Ml2+ M'l2+ mR2
（2） 支撑杆水平部分：自转惯量J’=112Ml2，公转惯量J’’=14 Ml2，
J= 112Ml2+14Ml2=13Ml2
支撑杆垂直部分：自转惯量为0，公转惯量为J’’=M'l2，
则 J=M'l2
圆盘部分：自转惯量为J’=12mR2，公转惯量为J’’=mR2，
故，转动惯量为：J=13Ml2+ M'l2+ 32mR2
参考文献
（1） 百度百科 《地球自转》
（2） 百度百科 《地球公转》
（3） 芶秉聪 胡海云 主编《大学物理》