解答题规范专练(四)-立体几何.doc

解答题规范专练(四)　立体几何

1．(2013·南通模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．
(1)求证：AC1∥平面B1DE；
(2)求三棱锥A­BDE的体积．

2．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别是BC，CA的中点．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAC；
(2)在BC上找一点F，使AD∥平面PEF，并说明理由．

3．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；
(2)求证：EM∥平面ABC；
(3)试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

答 案

1．解：(1)证明：取BB1的中点F，连接AF，CF，EF.

∵E，F分别是CC1，BB1的中点，
∴CE綊B1F.
∴四边形B1FCE是平行四边形．
∴CF∥B1E.
∵E，F是CC1，BB1的中点，
∴EF綊BC，又BC綊AD，
∴EF綊AD.
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AF∥ED.
∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E，
∴平面ACF∥平面B1DE.
又AC平面ACF，
∴AC∥平面B1DE.
(2)由条件得S△ABD＝AB·AD＝2.
∴VA­BDE＝VE­ABD＝S△ABD·EC
＝×2×1＝，
即三棱锥A­BDE的体积为.
2．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.
∵△ABC为正三角形，E是CA的中点，
∴BE⊥AC.
又∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩CA＝A，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE⊂平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)取F为CD的中点，连接EF.
∵E，F分别为AC，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AD.又∵EF⊂平面PEF，
AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF.
3．解：由题意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE＝2，
DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2.
(1)∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，又AB⊥AC，EA∩AC＝A，∴AB⊥平面ACDE.
∴四棱锥B­ACDE的高h＝AB＝2，梯形ACDE的面积S＝6，∴VB­ACDE＝Sh＝4，即所求几何体的体积为4.
(2)证明：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG＝DC，
∴MG平行且等于AE，
∴四边形AGME为平行四边形，
∴EM∥AG，又AG⊂平面ABC，EM⊄平面ABC，∴EM∥平面ABC.
(3)由(2)知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD.
∴EM⊥平面BCD，又∵EM⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD.
在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N，
∴MN⊥平面BDE，点N即为所求的点，
△DMN∽△DCB，
∴＝，即＝，
∴DN＝3，∴DN＝DC，
∴边DC上存在点N，满足DN＝DC时，有NM⊥平面BDE.