高2013级高三上期数学理科周考测试题(二).doc

高2013级高三上期数学理科周考测试题（二）
时间：120分钟 总分：150分

一、 选择题(12*5=60分)
1、已知全集，集合，，则A∩CUB=（ B ）
A． B． C． D．
2、复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
3、将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于，则的值为 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
4、（上海）若函数f(x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )
(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值
5、（全国卷）函数的图象（ D ）
A．与的图象关于y轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称
C．与的图象关于y轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称
6、（全国卷）已知函数（B ）
A． B．－ C．2 D．－2
7、已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
（ A ）
（A）0 （B） （C） （D）
8、（福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9、 （山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ D ）
（A）（B）（C）（D）
2
1
O
y
x
10、已知函数的图象如右图所示,则 （ A ）

11、（湖北卷）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12、设函数，则关于的方程有5个不同的实数解的充要条件是( C )
A．且 B．且
C．且 D．≥且

二、填空题（4*4=16分）
13、 的递增区间为 (0,1/2)
14、 已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_y=-x2-x______________
15、已知在[0, 1]上是减函数，则实数的取值范围是＿(1,2)＿＿＿
16、 非空集合G关于运算满足：①
对于任意a、bG，都有abG；②存在，使对一切都有a=a=a，
则称G关于运算为融洽集，现有下列集合运算：
⑴G={非负整数}，为整数的加法
⑵G={偶数}，为整数的乘法
⑶G={平面向量}，为平面向量的加法
⑷G={二次三项式}，为多项式的加法
其中关于运算的融洽集有__(1)、（3）__

一、选择题答题栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
A
D
B
A
B
D
A
B
C

二、填空题
13、 14、
15、 16、

二、 解答题
17、已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，
求的取值范围．
解：（Ⅰ）由．…..3
因为点在函数的图象上，
所以，
解得. …………………………………………..6
(Ⅱ) 因为，
所以=2，
所以，即.
又因为，所以，所以.
又因为，所以，……………………9
…所以， ，所以.
所以的取值范围是. ………………12
18.、一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.
（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望.

解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则
………………………….4
答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为.
（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
.
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为. …………………4
（Ⅲ）X的取值为2,3,4,5…………………………………………………………..1
， ，
， . ………….四个共2分
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
P

X的数学期望. …..1
19
、 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），
D（-，0，0），V（0，0，），

,
,又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD ………6

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量,设是面VDB的法向量，则

∴，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为 ……………………………….12
20、某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间池壁造价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元。（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）
（1） 写出总造价（元）与污水处理池长（米）的函数关系式，并指出定义域。
（2） 求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价？

（1）　　…………….6(定义域2分)
（2）长16米，宽12.5米时造价最低，为45000元………….12

21、数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）证明不等式对任意皆成立．
【解析】（1）证明：由题设，构造数列得：
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列……………….4
（2）解：由（1）可知，于是数列的通项公式为,
．
所以数列的前项和．…………………………8
（3）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．……………….12
22.已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．
解：（I）的定义域为.
………………………………2
根据题意，有，所以，
解得或. ……………………………..4
（II）………..6
（1）当时，因为，
由得，解得；
由得，解得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减……………8
（2）当时，因为，
由得 ，解得；
由得，解得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增. ………..10
（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，
且.
，
令，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

＋
0
－

极大值

是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.
所以
.
所以，当时，成立. ………………..14

7