高三数学理复数与逻辑人教实验版(A)知识精讲.doc

高三数学理复数与逻辑人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
复数与逻辑

二. 重点、难点：
1. 复数的概念
（1）虚数单位
（2）复数
（3）实部
（4）虚部
（5）虚数
（6）纯虚数
（7）复平面、实轴、虚轴
（8）共扼复数：与
2. 复数运算
（）

3. 命题：真命题、假命题
4. 四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题。互为逆否命题的一对命题，同真同假。
5. 充分必要条件
且，则称是的充分不必要条件。
且，则称是的必要不充分条件。
且，则称是的充要条件。
且，则称是的既不充分也不必要条件
6. 逻辑联结词
或（p，q中有一个真，为真）
且（中有一个假，为假）
非（与一真一假）
7. 全称量词
（任意，所有）全称命题
8. 存在量词
（存在一个，有一个）特称命题

【典型例题】
[例1] 若，求实数的值。
分析：将等式左边整理成后，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求出的值。
解答：原式可以化为
根据复数相等的充要条件，有，解得

[例2] 已知关于x的方程有实根，则实数m满足（ ）
A. B.
C. D.
解答：设实根为，则，即
∴ 解得，故选D。

[例3] 已知对应的点分别为P1、P2，则对应的复数为（ ）
A. B.
C. D.
解答：因为，对应的复数为，故选B。

[例4] 复数的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
解析：由及2010被4除余2知，，∴ 故选D。

[例5] 已知，复数，当为何值时，
（1）；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点位于复平面第二象限；
（4）对应的点在直线上。
分析：复数，当且仅当时，；当且仅当且时，为纯虚数，当时，对应的点位于复平面的第二象限；复数对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上。
解答：（1）由且，得，故当时，。
（2）由解得，或
∴ 当或时，为纯虚数
（3）由
解得或
故当或时，z对应的点位于复平面的第二象限。
（4）由，
得
解得或
∴ 当或时，点z在直线上

[例6] 计算：（1）；（2）
分析：本题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，则显得十分繁琐。若能结合题目特点，联想结论和的性质。对于（2）题并注意到，计算会简便许多。
解答：（1）原式

其中
（2）原式

[例7] 已知z是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围。
解析：设
，由题意得

由题意得 ∴
∵
根据条件，可知，解得
∴ 实数的取值范围是（2，6）

[例8] 复数，复数满足，则复数z= 。
答案：
解析：设，
则
∴ ∴
∴

[例9] 已知，且为实数，则等于（ ）
A. －1 B. －2 C. 2 D. 1
答案：A
解析：∵ 为实数
∴

[例10] 设关于x的方程是；
（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；
（2）证明：对任意，方程无纯虚数根。
解析：（1）设实数根是，则，
即
∵ ，∴
∴ ，且，又，∴
（2）若方程存在纯虚数根，设为，则，即此方程组无实数解
∴ 对任意，方程无虚数根。

[例11] 对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若要说明复数，，线性相关，那么可取 。（只要写出满足条件的一组值即可）
解答：由
得
即
∴ ∴
故填或等

[例12] 已知：，求是的什么条件。
解答：可转化为

∴

观察上图知，
∴ 是的充分而不必要条件

[例13] 命题甲：“成等差数列”，命题乙：“”，则甲是乙的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：∵ ，则也成等差数列，但推不出；
反过来由，即成等差数列。
综上所述，“成等差数列”是“”的必要不充分条件，故选A。

[例14] 设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？
分析：把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么，然后再验证还是，还是。
解答：据韦达定理得，判定的条件是
，结论是（还要注意条件中需要满足大前提）
（1）由，得，，
∴
（2）为了证明，可以举出反例：取，，它满足，，且满足，但不成立。
由上述讨论可知：且是必要但不充分条件。

[例15] 给出命题：“已知是实数，若且，则”。对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
解析：本题考查四种命题，其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价，故只要判断原命题与逆命题的真假即可，可以判断出四个命题都是假命题。∴ 选A。

[例16] 下列判断错误的是（ ）
A. 命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题
B. “”是“”的充要条件
C. “矩形的两条对角线相等”的否定为假
D. 命题“或”为真（其中为空集）
解析：由，但。故选B。

[例17] 已知，求证：的充要条件是。
证明：先证必要性。
∵ ，即
∴

再证充分性
∵ ，
即
∴
由，即且
∴ ，只有
综上可知，当时，的充要条件是

[例18] 设是简单命题，则“且为假”是“或为假”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解答：由“p且q为假”知p、q中至少有一个为假即可，而“p或q为假”则p，q都为假，由此可推断“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件，故选A。

[例19] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
（1）p是r的什么条件？
（2）s是q的什么条件？
（3）p、q、r、s中哪几对互为充要条件？
解析：作出“”图，如图可知：
（1），且能否推出未知，∴ 是r的充分条件。
（2）∵ ，∴ s是q的充要条件。
（3）共有三对充要条件，；；

[例20] 已知。设命题P：函数为减函数。
命题Q：当时，函数恒成立，如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求的取值范围。
解析：由为减函数得
当时，因为，故函数在上为减函数，在上为增函数。
∴ 在上的最小值为
当时，由函数恒成立，得，解得
如果P真，且Q假，则
如果P假，且Q真，则
所以的取值范围为

[例21] 如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
答案：B
解析：
由题意知则有，
解得，故选B。

[例22] 已知命题p：对，不等式恒成立；命题：不等式有解。若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围。
解：p：恒成立
q：
∴ ：

[例23] 已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
解：是的充不必是的充不必
： ：
①
∴
② 显然成立
③
综上所述，

【模拟试题】
1. 已知复数满足，则等于（ ）
A. 0 B. C. 6 D.
2. 等于（ ）
A. B. C. －2 D. 2
3. 等于（ ）
A. B. C. D.
4. “复数为纯虚数”是“”的什么条件（ ）
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则是为纯虚数的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 等于（ ）
A. B. C. D.
9. 若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ）
A. 1或2 B. 或2 C. D. 2
10. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
11. 定义运算，则符合条件的复数为（ ）
A. B. C. D.
12. 设C={复数}，A={实数}，B={纯虚数}，全集U=C，那么下面结论正确的是（ ）
A. A∪B=C B. CUA=B C. A∩CUB= D. B∪CUB=C
13. 集合，包含的S的子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 8个
14. 设全集为实数集R，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知非空集合，且若，则，那么集合M的个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
16. 设，，满足的集合C的个数为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
17. 当命题“若，则”为真时，下列命题中一定正确的是（ ）
A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则
18. “若且，则全为0”的否命题是（ ）
A. 若且，则全不为0
B. 若且，则不全为0
C. 若且全为0，则
D. 若且，则
19. “”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
20. 若与都是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
21. 对任意的实数，给出下面命题：
① “”是“”的充要条件；
② “是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③ “”是“”的充分条件；
④ “”是“”的必要条件。
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
22. 如果命题：，命题：，那么命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
23. 设A、B是非空集合，定义，已知
，，则等于（ ）
A. B. C. [0，1] D. [0，2]
24. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（ ）
A. 简单命题 B.“p或q”形式的复合命题
C.“p且q”形式的复合命题 D.“非p”形式的复合命题
25. 设，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
26. 条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
27. 下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ）
A. 所有菱形的四边长度都相等 B. 若为偶数，则
C. 若对，则 D. 是无理数
28. 全称命题的否定是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不正确
29. 已知全集S=R，，若命题：，则命题“”是（ ）
A. B. C. D.
30. 命题“或，则”的否定是 ，否命题是 。
31. 设A、B为两个集合，下列四个命题：
① 对任意；② ；
③ ；④ 存在，使得。
其中真命题的序号是 。（把符合要求的命题序号都填上）
32. 已知条件，条件：，则非是非的 条件。
33. 设定义在R上的函数，则关于的方程有八个不同实数解的充要条件是 。

【试题答案】
1. D 2. D 3. C 4. A 5. D 6. C 7. C 8. C 9. C 10. C
11. A 12. D 13. D 14. B 15. C 16. B 17. C 18. B 19. A 20. C
21. B 22. B 23. A 24. C 25. A 26. B 27. A 28. C 29. D
30. 或，则；且，则
31. ④ 32. 充分不必要
33. 且且
用心 爱心 专心