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第四章 向量组的线性相关性
§4.1 向量组及其线性组合
教学目的 ：使学生掌握向量的定义和线性组合、线性表示.
教学重点： 线性组合、线性表示.
教学难点： 如何判断一个向量可以由一组向量线性表示.
教学方法： 讲授法.
教学过程：
一、维行向量
1、向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量.
–– 称为向量的第个分量
–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）
–– 称为复向量
零向量：
负向量：
2、线性运算：,
相等：若, 称．
加法：
数乘：
减法：
3、算律：, ,
(1) (5)
(2) (6)
(3) (7)
(4) (8)
4、列向量：个数构成的有序数组, 记作,
二、线性组合以及线性表示：对维向量及, 若有数组使得
, 称为的线性组合, 或可由线性表示.
例1 , , ,
判断可否由线性表示?
解 设，比较两端的对应分量可得
, 求得一组解为
于是有, 即可由线性表示.
[注] 取另一组解时, 有.
小结：1、维行向量；
2、线性组合以及线性表示.
作业： 习题四 3 ，4.

§4.2 向量组的线性相关性
教学目的：使学生掌握向量组的线性相关性.
教学重点：如何证明一组向量线性相关或无关.
教学难点：证明一组向量线性无关.
教学方法：讲授法和学生自己练习相结合.
教学过程：
一、线性相关与线性无关
线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得

称向量组线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有

称向量组线性无关, 否则称为线性相关．
[注] 对于单个向量：若, 则线性相关；
若, 则线性无关．
例1 判断例1中向量组的线性相关性.
解 设, 比较两端的对应分量可得

即．因为未知量的个数是4, 而, 所以
有非零解, 由定义知线性相关.

例2 已知向量组线性无关, 证明向量组
　 , ,
线性无关．
证 设 , 则有

因为线性无关, 所以
, 即
系数行列式 , 该齐次方程组只有零解．
　　　 故线性无关．
例3 判断向量组
, , …, 的线性相关性.
解 设 , 则有
只有
　　　 故线性无关．
二、判定定理
定理1 向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
证 必要性．已知线性相关, 则存在不全为零,
使得 　　
不妨设, 则有 .
　　充分性 不妨设 , 则有

因为不全为零, 所以线性相关.
定理2 若向量组线性无关, 线性相关，则可由线性表示, 且表示式唯一.
证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零,
使得
若, 则有 ．矛盾!
故, 从而有 ．
下面证明表示式唯一：
若 ,
则有
因为线性无关, 所以
即的表示式唯一.
定理3 线性相关线性相关.
证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得

数组不全为零, 故线性相关．
推论1 含零向量的向量组线性相关.
推论2 向量组线性无关任意的部分组线性无关.
定理4 设

(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
证 设
比较等式两端向量的对应分量可得

即 ．由定理3.5可得：
线性相关有非零解

推论1 在定理4中, 当时, 有
(1) 线性相关；
(2) 线性无关．
推论2 在定理4中, 当时, 有
(1) 线性相关中所有的阶子式；
(2) 线性无关中至少有一个阶子式．
推论3 在定理4中, 当时, 必有线性相关．
因为, 由定理4(1)即得．
推论4 向量组：
向量组：
若线性无关, 则线性无关．
证

线性无关
是的子矩阵
线性无关
定理5 划分, 则有
(1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关；
中“所在的”个列向量线性无关.
(2) 中所有中任意的个行向量线性相关；
　　　　　　　　　　　　中任意的个列向量线性相关.
证 只证“行的情形”：
(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有
线性无关．
(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,
则有线性相关．
[注] 称为的行向量组, 为的列向量组.
小结：1、向量组的线性相关与线性无关；
2、线性相关的判定；
3、线性相关的性质.
作业：习题四5，6.

§4.3 向量组的秩
教学目的：使学生掌握最大无关组和向量组的秩.
教学重点：会求向量组的秩和最大无关组.
教学难点：会求最大无关组并把不是最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
教学方法：讲授法.
教学过程：
一、定义
向量组的秩：设向量组为, 若
(1) 在中有个向量线性无关；
(2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．
　 称为向量组为的一个最大线性无关组,
称为向量组的秩, 记作：秩．
[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．
(2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个
最大无关组．
例如, , , , 的秩为2．
线性无关是一个最大无关组
线性无关是一个最大无关组
二、定理

定理 设, 则
(1) 的行向量组（列向量组）的秩为；
(2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是
的行向量组（列向量组）的最大无关组．
证 只证“行的情形”：
中某个, 而中所有
定理5中所在的个行向量线性无关
中任意的个行向量线性相关
由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的个行向量是
的向量组的最大无关组.
例 1 向量组：, , ,
求的一个最大无关组．
解 构造矩阵
求得秩
矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式
故是的一个最大无关组．
[注] 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．
定理
(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）
“的列”线性相关（线性无关）；
(2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）
“的行”线性相关（线性无关）.
证 (1) 划分,
由可得
故方程组
与方程组
同解．于是有
线性相关
存在不全为0, 使得
存在不全为0, 使得
线性相关
同理可证(2).
[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形矩阵的秩为时, 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的.
例如：求例1中向量组的一个最大无关组．构造矩阵

秩
的1,2列线性无关的1,2列线性无关
是的一个最大无关组
例2 向量组：, , ,
求向量组的一个最大无关组．
解 对矩阵 进行初等行变换可得

(1) ：
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组；
(2) ：
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组.
[注] 当为行向量组时, 为列向量组．
若矩阵 的列向量组的一个最大无关组
为, 则是的一个最大无关组.
2、等价向量组：设向量组,
若可由线性表示, 称可由线性表示；
若与可以互相线性表示, 称与等价．
(1) 自反性：与等价
(2) 对称性：与等价与等价
(3) 传递性：与等价, 与等价与等价
定理8 向量组与它的最大无关组等价.
证 设向量组的秩为, 的一个最大无关组为．
(1) 中的向量都是中的向量可由线性表示；
(2) 任意, 当时, 可由线性表示；
当时, 线性相关, 而线性无关
由定理2知, 可由线性表示．故可由线性表示．
因此, 与等价.
推论 向量组的任意两个最大无关组等价.
定理9 向量组, 向量组．
若线性无关, 且可由线性表示, 则．
证 不妨设与都是列向量, 考虑向量组

易见, 秩秩．构造矩阵

因为可由线性表示, 所以

于是可得 秩．
推论1 若可由线性表示, 则 秩秩．
证 设 秩, 且的最大无关组为；
秩, 且的最大无关组为, 则有
可由线性表示可由线性表示
可由线性表示
（定理9）
推论2 设向量组与等价, 则 秩秩．
[注] 由“秩秩”不能推出“与等价”！
正确的结论是：
与等价
与等价
例8 设,, 则 , ．
证 设, , , 则

即可由线性表示, 故 ．
根据上述结果可得

小结：1、最大无关组和向量组的秩；
2、等价向量组.
作业：习题四 13， 14 （理解、记忆定理）.

§4.4 线性方程组解的结构
教学目的：使学生掌握利用向量的有关知识讨论方程组的解.
教学重点：会求齐次方程组的基础解系.
教学难点：将向量的知识和矩阵、方程组联系.
教学方法：讲授法.
教学过程：
一、复习：
, ,
齐次方程组
非齐次方程组 ()
结论：(1) , 与同解．
(2) 有非零解．
(3) 有解．
(4) 设, 则
时, 有唯一解；
时, 有无穷多解．
二、讨论齐次方程组
的基础解系
不妨设的一般解为

()
依次令
可求得 , , …,
因为 (1) 线性无关
(2) ,
称为的基础解系．
例1 设, 求的一个基础解系．
解 , 同解方程组为
依次取 , 可求得基础解系 ,
三、非齐次方程组
解的结构
(1) ,
(2) , 是的解
设的一个基础解系为
的特解为, 一般解为, 则有

()

例2 设, , 求的通解．
解
同解方程组为
基础解系：, ；特解：
通解： ()

例3 设, 的3个解满足
, , 求的通解．
解 的基础解系中含有个解向量
因为
所以 是的基础解系
又 是的特解
故的通解为．

例4 设, 是的解, 证明：
是的基础解系线性无关．
证 必要性．设数组使得
左乘, 利用可得
因为, 所以
由此可得
因为是的基础解系, 所以线性无关, 从而有

故线性无关．
充分性．是的解向量
设数组使得
则
因为线性无关, 所以只有
,
故向量组线性无关．
因此 是的基础解系．
作业：习题四 22， 24.

§4.5 向量空间
教学目的：使学生掌握向量空间的定义以及基、维数、坐标
教学重点：判断是否为向量空间和求向量的坐标
教学难点：求过渡矩阵以及同一个向量在不同基下的坐标
教学方法：讲授法
教学过程：
一、定义
1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合, 若
对任意的, 有； 　（加法封闭）
对任意的, , 有．　（数乘封闭）
称集合为向量空间．
例如： 是向量空间
是向量空间
不是向量空间
, 即数乘运算不封闭．
例1 给定维向量组, 验证

是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间, 记作
或者
证 设, 则 , , 于是有

由定义知, 是向量空间．

2．子空间：设和都是向量空间, 且, 称为的子空间．
例如：前面例子中的是的子空间．
例9中的也是的子空间．
3．向量空间的基与维数：设向量空间, 若
(1) 中有个向量线性无关；
(2) 可由线性表示．
称为的一组基, 称为的维数, 记作或者．
[注] 零空间没有基, 规定．
由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证）
若, 则中任意个线性无关的向量都可作为的基．
例2 设向量空间的基为, 则．
证

4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为, 对于,
表示式唯一（定理2）, 称为在
基下的坐标（列向量）．
[注] 为维向量, 在的基下的坐标为维列向量．
　　　　因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量, 所以由
　　　　维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量, 故．
例3 设向量空间的基为
, ,
求在该基下的坐标．
解 设, 比较等式两端的对应分量可得：

,
[注] 是4维向量, 在的基下的坐标为3维列向量．
课后作业：习题四 36，40

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