第四章-向量组的线性相关性.doc

第四章 向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合教学目的 ：使学生掌握向量的定义和线性组合、线性表示.教学重点： 线性组合、线性表示.教学难点： 如何判断一个向量可以由一组向量线性表示.教学方法： 讲授法.教学过程：一、维行向量 1、向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量. 称为向量的第个分量 称为实向量（下面主要讨论实向量） 称为复向量 零向量：负向量：2、线性运算：, 相等：若, 称 加法： 数乘： 减法： 3、算律：, , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 4、列向量：个数构成的有序数组, 记作, 二、线性组合以及线性表示：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示.例1 , , , 判断可否由线性表示?解 设，比较两端的对应分量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示.注 取另一组解时, 有.小结：1、维行向量；2、线性组合以及线性表示.作业： 习题四 3 ，4. 4.2 向量组的线性相关性教学目的：使学生掌握向量组的线性相关性.教学重点：如何证明一组向量线性相关或无关.教学难点：证明一组向量线性无关.教学方法：讲授法和学生自己练习相结合.教学过程：一、线性相关与线性无关线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 称向量组线性相关, 否则称为线性无关 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 称向量组线性无关, 否则称为线性相关 注 对于单个向量：若, 则线性相关； 若, 则线性无关 例1 判断例1中向量组的线性相关性. 解 设, 比较两端的对应分量可得 即因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关. 例2 已知向量组线性无关, 证明向量组 , , 线性无关 证 设 , 则有 因为线性无关, 所以 , 即 系数行列式 , 该齐次方程组只有零解 故线性无关 例3 判断向量组 , , , 的线性相关性. 解 设 , 则有 只有 故线性无关 二、判定定理 定理1 向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证 必要性已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 不妨设, 则有 .充分性 不妨设 , 则有 因为不全为零, 所以线性相关.定理2 若向量组线性无关, 线性相关，则可由线性表示, 且表示式唯一.证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 若, 则有 矛盾! 故, 从而有 下面证明表示式唯一： 若 , 则有 因为线性无关, 所以 即的表示式唯一.定理3 线性相关线性相关. 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 数组不全为零, 故线性相关 推论1 含零向量的向量组线性相关. 推论2 向量组线性无关任意的部分组线性无关. 定理4 设 (1) 线性相关； (2) 线性无关证 设 比较等式两端向量的对应分量可得 即 由定理3.5可得： 线性相关有非零解 推论1 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关； (2) 线性无关 推论2 在定理4中, 当时, 有 (1) 线性相关中所有的阶子式； (2) 线性无关中至少有一个阶子式 推论3 在定理4中, 当时, 必有线性相关 因为, 由定理4(1)即得 推论4 向量组： 向量组： 若线性无关, 则线性无关 证 线性无关 是的子矩阵 线性无关定理5 划分, 则有 (1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关； 中“所在的”个列向量线性无关. (2) 中所有中任意的个行向量线性相关；中任意的个列向量线性相关.证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关 (2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关注 称为的行向量组, 为的列向量组.小结：1、向量组的线性相关与线性无关；2、线性相关的判定；3、线性相关的性质.作业：习题四5，6. 4.3 向量组的秩教学目的：使学生掌握最大无关组和向量组的秩.教学重点：会求向量组的秩和最大无关组.教学难点：会求最大无关组并把不是最大无关组的向量用最大无关组线性表示.教学方法：讲授法.教学过程：一、定义 向量组的秩：设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关； (2) 在中有个向量线性相关（如果有个向量的话） 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作：秩 注(1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0 (2) 秩时, 中任意个线性无关的向量都是的一个 最大无关组 例如, , , , 的秩为2 线性无关是一个最大无关组 线性无关是一个最大无关组二、定理 定理 设, 则 (1) 的行向量组（列向量组）的秩为； (2) 中某个中所在的个行向量（列向量）是 的行向量组（列向量组）的最大无关组证 只证“行的情形”： 中某个, 而中所有 定理5中所在的个行向量线性无关 中任意的个行向量线性相关 由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的个行向量是 的向量组的最大无关组. 例 1 向量组：, , , 求的一个最大无关组 解 构造矩阵 求得秩 矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式 故是的一个最大无关组注 为行向量组时, 可以按行构造矩阵 定理 (1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关） “的列”线性相关（线性无关）； (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关） “的行”线性相关（线性无关）. 证 (1) 划分, 由可得 故方程组 与方程组 同解于是有 线性相关 存在不全为0, 使得 存在不全为0, 使得 线性相关 同理可证(2). 注 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形矩阵的秩为时, 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的. 例如：求例1中向量组的一个最大无关组构造矩阵 秩 的1,2列线性无关的1,2列线性无关 是的一个最大无关组 例2 向量组：, , , 求向量组的一个最大无关组解 对矩阵 进行初等行变换可得 (1) ： 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 故是的一个最大无关组； (2) ： 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 故是的一个最大无关组. 注 当为行向量组时, 为列向量组 若矩阵 的列向量组的一个最大无关组 为, 则是的一个最大无关组.2、等价向量组：设向量组, 若可由线性表示, 称可由线性表示；若与可以互相线性表示, 称与等价 (1) 自反性：与等价 (2) 对称性：与等价与等价(3) 传递性：与等价, 与等价与等价 定理8 向量组与它的最大无关组等价. 证 设向量组的秩为, 的一个最大无关组为 (1) 中的向量都是中的向量可由线性表示； (2) 任意, 当时, 可由线性表示； 当时, 线性相关, 而线性无关 由定理2知, 可由线性表示故可由线性表示 因此, 与等价.推论 向量组的任意两个最大无关组等价. 定理9 向量组, 向量组 若线性无关, 且可由线性表示, 则 证 不妨设与都是列向量, 考虑向量组 易见, 秩秩构造矩阵 因为可由线性表示, 所以 于是可得 秩 推论1 若可由线性表示, 则 秩秩证 设 秩, 且的最大无关组为； 秩, 且的最大无关组为, 则有 可由线性表示可由线性表示 可由线性表示 （定理9） 推论2 设向量组与等价, 则 秩秩 注 由“秩秩”不能推出“与等价”！ 正确的结论是： 与等价 与等价 例8 设, 则 , 证 设, , , 则 即可由线性表示, 故 根据上述结果可得 小结：1、最大无关组和向量组的秩；2、等价向量组.作业：习题四 13， 14 （理解、记忆定理）.4.4 线性方程组解的结构教学目的：使学生掌握利用向量的有关知识讨论方程组的解.教学重点：会求齐次方程组的基础解系.教学难点：将向量的知识和矩阵、方程组联系.教学方法：讲授法.教学过程：一、复习： , , 齐次方程组 非齐次方程组 () 结论：(1) , 与同解 (2) 有非零解 (3) 有解 (4) 设, 则 时, 有唯一解； 时, 有无穷多解二、讨论齐次方程组 的基础解系 不妨设的一般解为 () 依次令 可求得 , , , 因为 (1) 线性无关 (2) , 称为的基础解系 例1 设, 求的一个基础解系 解 , 同解方程组为 依次取 , 可求得基础解系 , 三、非齐次方程组 解的结构 (1) , (2) , 是的解设的一个基础解系为 的特解为, 一般解为, 则有 () 例2 设, , 求的通解 解 同解方程组为 基础解系：, ；特解：通解： () 例3 设, 的3个解满足 , , 求的通解 解 的基础解系中含有个解向量 因为 所以 是的基础解系 又 是的特解 故的通解为 例4 设, 是的解, 证明： 是的基础解系线性无关 证 必要性设数组使得 左乘, 利用可得 因为, 所以 由此可得 因为是的基础解系, 所以线性无关, 从而有 故线性无关 充分性是的解向量 设数组使得 则 因为线性无关, 所以只有 , 故向量组线性无关因此 是的基础解系作业：习题四 22， 24.4.5 向量空间教学目的：使学生掌握向量空间的定义以及基、维数、坐标教学重点：判断是否为向量空间和求向量的坐标教学难点：求过渡矩阵以及同一个向量在不同基下的坐标教学方法：讲授法教学过程：一、定义 1向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合, 若 对任意的, 有； （加法封闭） 对任意的, , 有（数乘封闭） 称集合为向量空间例如： 是向量空间 是向量空间 不是向量空间 , 即数乘运算不封闭 例1 给定维向量组, 验证 是向量空间称之为由向量组生成的向量空间, 记作 或者 证 设, 则 , , 于是有 由定义知, 是向量空间 2子空间：设和都是向量空间, 且, 称为的子空间 例如：前面例子中的是的子空间 例9中的也是的子空间 3向量空间的基与维数：设向量空间, 若 (1) 中有个向量线性无关； (2) 可由线性表示 称为的一组基, 称为的维数, 记作或者 注 零空间没有基, 规定 由条件(2)可得：中任意个向量线性相关（自证） 若, 则中任意个线性无关的向量都可作为的基 例2 设向量空间的基为, 则 证 4向量在基下的坐标：设向量空间的基为, 对于, 表示式唯一（定理2）, 称为在 基下的坐标（列向量） 注 为维向量, 在的基下的坐标为维列向量因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量, 所以由维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量, 故 例3 设向量空间的基为 , , 求在该基下的坐标 解 设, 比较等式两端的对应分量可得： , 注 是4维向量, 在的基下的坐标为3维列向量课后作业：习题四 36，4071