正常水准面不平行性及其改正数计算.doc

§5.7 正常水准面不平行性及其改正数计算

如果假定不同高程的水准面是相互平行的，那么水准测量所测定的高差，就是水准面间的垂直距离。这种假定在较短距离内与实际相差不大，而在较长距离时，这种假定是不正确的。

5.7.1 水准面不平行性

在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。对于水准面上的单位质点而言，它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。我们把这种随着位置和重力加速度大小而变化的位能称为重力位能，并以表示，则有
（5-17）
式中，为重力加速度；为单位质点所处的高度。
图5-33
我们知道，在同一水准面上各点的重力位能相等，因此，水准面称为重力等位面，或称重力位水准面。如果将单位质点从一个水准面提高到相距的另一个水准面，其所做功就等于两水准面的位能差，即。在图5-51中，设、分别表示两个非常接近的水准面在两点的垂直距离，、为两点的重力加速度。由于水准面具有重力位能相等的性质，因此两点所在水准面的位能差应有下列关系
（5-18）
我们知道，在同一水准面上的不同点重力加速度值是不同的，因此由式（5-18）可知，与必定不相等，也就是说，任何两邻近的水准面之间的距离在不同的点上是不相等的．并且与作用在这些点上的重力成反比。以上的分析说明水准面不是相互平行的，这是水准面的一个重要特性，称为水准面不平行性。
重力加速度值是随纬度的不同而变化的，在纬度较低的赤道处有较小的值，而在两极处值较大，因此，水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆形的曲面。
水准面的不平行性，对水准测量将产生什么影响呢？
我们知道，水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。在图5-34中，地面点的高程可以按水准路线各测站测得高差之和求得，即

如果沿另一条水准路线施测，则点的高程应为水准路线各测站测得高差之和，即

由水准面的不平行性可知，因此也必定不等，也就是说，用水准测量测得两点间高差的结果随测量所循水准路线的不同而有差异。
如果将水准路线构成闭合环形，既然，可见，即使水准测量完全没有误差，这个水准环形路线的闭合差也不为零。在闭合环形水准路线中，由于水准面不平行所产生的闭合差称为理论闭合差。
由于水准面的不平行性，使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产生多值性，为了使点的高程有惟一确定的数值，有必要合理地定义高程系，在大地测量中定义下面三种高程系统：正高，正常高及力高高程系。

5.7.2 正高高程系

正高高程系是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高高程（简称正高），即该点沿垂线方向至大地水准面的距离。如图5-34中，点的正高，设以表示，则有
图5-34
（5-19）
设沿垂线的重力加速度用表示，在垂线的不同点上，也有不同的数值。由式(5-18)的关系可以写出

或
（5-20）

将（5-20）式代入（5-19）式中，得
（5-21）
如果取垂线上重力加速度的平均值为，上式又可写为
（5-22）
从（5-22）式可以看出，某点的正高不随水准测量路线的不同而有差异，这是因为式中为常数，为过点的水准面与大地水准面之间的位能差，也不随路线而异，因此，正高高程是惟一确定的数值，可以用来表示地面的高程。
如果沿着水准路线每隔若干距离测定重力加速度，则（5-22)式中的值是可以得到的。但是由于沿垂线的重力加速度不但随深入地下深度不同而变化，而且还与地球内部物质密度的分布有关，所以重力加速度的平均值并不能精确测定，也不能由公式推导出来，所以严格说来，地面一点的正高高程不能精确求得。

5.7.3 正常高高程系

将正高系统中不能精确测定的用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高，用公式表达为
（5-23）
式中，g由沿水准测量路线的重力测量得到；是水准测量的高差，是按正常重力公式算得的正常重力平均值，所以正常高可以精确求得，其数值也不随水准路线而异，是惟一确定的。因此，我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。
下面推导正常高高差的实际计算公式。
首先推导高出水准椭球面的正常重力的计算公式。在这里，我们把水准椭球看成是半径为的均质圆球，则地心对地面高的点的引力为

对大地水准面上点的引力为

两式相减，得重力改正数

上式右端括号外项，可认为是地球平均正常重力；由于<<，可把展开级数，并取至二次项，经整理得

将地球平均重力及地球半径代入上式，最后得

这就是对高出地面点的重力改正公式，式中以m为单位，以mGal为单位。显然式中第一项是主项，大约每升高3m，重力值减少1mGa1。第二项是小项，只在特高山区才顾及它，在一般情况下可不必考虑，这样通常可把上式写成

于是得出地面高度处的点的正常重力计算公式
（5-24）
式中为水准椭球面上的正常重力值，在大地控制测量中，采用1901～1909年赫尔默特正常重力公式：
（5-25）
将重力写成下面的形式
（5-26）
式中用（5-24）式计算。在有限路线上，可以认为正常重力是线性变化，因此可认为是处的值，即，进而

（5-27）
分项积分得到

可近似地写成：

因此，有正常高计算公式：
（5-28）
上式右端第一项是水准测量测得的高差，这是主项；第二项中的是沿水准路线上各点的正常重力值，随纬度而变化，亦即，所以第二项称为正常位水准面不平行改正数。第一、二项之和称为概略高程。第三项是由正常位水位面与重力等位面不一致引起的，称之为重力异常改正项。
当计算两点高差时，有式
（5-29）
将上式右端第二、三大项分别用和表示，则
（5-30）
上式中称为正常位水准面不平行引起的高差改正，称为由重力异常引起的高差改正，经过和改正后的高差称为正常高高差。
下面推导和的计算公式。首先推导的计算公式。
由于

于是
（5-31）
上式中最后一项数值很小，可略去；第一项在间距不大的情况下，可认为呈线性变化，可用平均值代替，亦即，则
（5-32）
这样
（5-33）
式中，为两点平均高度（可用近似值代替），。又由（5-25）式可知，若忽略右端第三项（即含项），并令，则把它改写成

（5-34）
当时，得。因此上式可写成

将有关数值代入，于是
（5-35）
因此对上式取微分得

亦即
（5-36）
当（5-33）式中的以我国平均纬度代入算得

将以上关系式及数据代入（5-33）式，得的最后计算公式：
（5-37）
或 （5-38）
式中，是两点平均纬度，系数可按在水准测量规范中查取，是两点的纬度差，以分为单位。规范中的值与（5-37）式略有差异，这主要是由于所采用常数不同而至，对计算结果无影响。
再来推导计算的公式。
由于

（5-39）
上式中第二项数值很小，可忽略。第一项当间距不大时，可视同呈线性变化，故可取平均值代替。路线上的正常重力也可近似等于点的，因此上式变为
（5-40）
求积分，得
（5-41）
上式即为重力异常改正项的计算公式。为便于计算，还可作进一步改化，若令

并把此式代入上式，则得
（5-42）
令
（5-43）
（5-44）
则得 （5-45）
此式为计算重力异常项改正的最后公式。计算时以毫伽（mGal）为单位，取至0.1mGal。是两点间的高差，取整米，的单位与相同。
从上可见，正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。
下面我们来分析一下正高和正常高二者的差异。由（5-22）、（5-23）式可知：

因此
（5-46）
因此，对任意一点正常高和正高之差，亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的差值是：
（5-47）
假设山区，则得

在平原地区，则得

在海水面上，故即正常高和正高相等。这就是说在海洋面上，大地水准面和似大地水准面重合。所以大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的。
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