资源描述
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一、选择题
1．数列{an}中，an＋1＝an＋2(n∈N*)，则点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…An(n，an)分布
在( )
A．直线上，且直线的斜率为－2
B．抛物线上，且抛物线的开口向下
C．直线上，且直线的斜率为2
D．抛物线上，且抛物线的开口向上
【解析】 ∵＝an－an－1＝2(n≥2)，
∴A1，A2，A3，…，An在斜率为2的直线上．
【答案】 C
2．(2009年长沙模拟)在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13等于( )
A．152 B．154
C．156 D．158
【解析】 方法一：设首项为a1，公差为d ，则
，即，
∴S13＝13×＋×＝＝156.
方法二：∵a3＋a7－a10＋a11－a4＝12，
∴a7＝12，
∴S13＝13a7＝156.
【答案】 C
3．(2008年天津高考)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【解析】 ∵S5＝＝＝5a3＝25，
∴a3＝5，∴公差d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.
【答案】 B
4．等差数列{an}中，记Sn为前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5中，也为确定常数的是( )
A．②③⑤ B．①②⑤
C．②③④ D．③④⑤
【解析】 ∵a1＋a13＝2a7，
∴a1＋a7＋a13＝3a7，
故a7为确定的常数；
根据性质，在等差数列中，S13＝13·a7，
∴S13为确定的常数，
S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7，
∴S8－S5为确定的常数.
【答案】 A
5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是( )
A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值
C．S30＝0 D．S60＝0
【解析】 由S20＝S40，得a21＋a22＋…＋a40＝0，
即10(a21＋a40)＝0，即a21＋a40＝0，
∴a1＋a60＝0，
∴S60＝＝0.
【答案】 D
二、填空题
6．(2009年天门模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于______．
【解析】 ∵＝，∴＝，
∴＝，∴＝∴＝2.
【答案】 2∶1
7．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于______时，Sn取得最大值．
【解析】 ∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0，
解得a5＝－d＞0，∴d＜0，
∴a1＝－d，
故{an}是首项为正数的递减数列，
由，即，
解得15≤n≤16，
∴n＝16，即a16＞0，a17＜0，
∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17＞a18＞…，
∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，
而b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
∴S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16，
又a15＝－d＞0，a18＝d＜0，
∴a15＜|a18|，∴|b15|＜b16，即b15＋b16＞0，
∴S16＞S14，故Sn中S16最大．
【答案】 16
8．已知点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，且A、B、C到焦点F(1,0)的距离成等差数列，则x1＋x2＝______.
【解析】 设A、B、C到准线的距离分别为d1，d2，d3，
∵|AF|＋|CF|＝2|BF|，
∴d1＋d3＝2d2，
∴x1＋1＋x2＋1＝2(1＋1)，∴x1＋x2＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．(2009年江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a32＝a42＋a52，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
【解析】 (1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，d≠0.
由a22＋a32＝a42＋a52知2a1＋5d＝0.①
又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.
所以数列{an}的通项公式
an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.
(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.
经检验，符合题意的正整数只有m＝2.
10．(2009年绍兴模拟)已知数列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)方法一：假设存在实数λ，使得数列为等差数列，
设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，
∴2×＝＋，
∴＝＋.
解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．
方法二：假设存在实数λ，使得为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，
则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．
∵2×＝＋.
∴λ＝4an＋1－4an－an＋2
＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)
＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网
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