第二十二课时函数的零点.doc

第二十二课时 函数的零点
二次函数与
一元二次方程
函数的零点
二次函数的零点与对应
一元二次方程根的关系

函数的零点与
对应方程的关系

二次函数
的零点
知识网络

学习要求
1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；
3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．
自学评价
1.二次函数的零点的概念
一元二次方程的根也称为二次函数（≠0）的零点．
2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；
（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；
（3）一元二次方程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（≠0）没有零点．
3. 推广
⑴函数的零点的概念
一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数 的零点．
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
精典范例
例1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根．

点评:例1还可用配方法将方程化为再证明．
也可由抛物线开口向上及来推证．
例2：右图是一个二次函数的图象．
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）试比较，与的大小关系．

点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想．
例3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
（1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程的两根都小于；
（3）方程的两根都在区间上；
（4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；
（5）方程至少有一个实根小于．
分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式（组）．

点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．
追踪训练一
1. 函数的最大值是，则的取值范围是_______
2. 设，, ，则比较的大小_____________________
3. 若关于的方程有一根在内，则的取值范围是____________．
4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_______ __________．
【选修延伸】
一、二次函数与一元二次方程根的关系
例4:已知，是方程()的两个实根，求的最大值和最小值．
分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式．

点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数的单调性．
追踪训练二
1．函数的零点是______________
2． 若方程在内恰有一解，则的取值范围是____________
3．已知，并且、是方程的两个根，则实数、、、的大小关系可能是______________________
4．关于的不等式的解集是，则=____________
5．不等式对恒成立，则的取值范围是_______
6．已知函数的图象在轴的上方，则实数的取值范围是 ．
7．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是____
8．已知函数．
（1）求函数的图象与轴的交点坐标，并结合图象指出当取何值时，函数值大于；
（2）设函数图象的顶点为，它与轴的交点为、，求的面积．

9．已知函数，．
（1）若，求的最大值与最小值，并指出相应的的值；
（2）若恒成立，求的取值范围．

11．已知二次函数（为常数，且）满足条件：且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出、的值；如果不存在，说明理由.