重庆市重点高中2010届高三数学第三次联合模拟测试-理-人教版.doc

重庆市重点高中2010届高三第三次联合模拟考试数学试题（理）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，集合，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量a，b ，则向量a+b所在的直线可能为（ ）
A．轴 B．第一、三象限的角平分线
C．轴 D．第二、四象限的角平分线
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
6．在中，角的对边边长分别为，
则的值为（ ）
A．38 B．37 C．36 D．35
7．函数是 （ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的非奇非偶函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的非奇非偶函数
8．若在区间上取值，则函数在R上有两个相异极值点的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
10．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.
11．设等差数列的前项和为，若，则= .
0.0375
0.0125
50 55 60 65 70 75 体重
12.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是　　　　．
13．把1，2，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和的最大值为，最小值为，则= .

14．给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心；
③函数的最小正周期为1；
④ 函数在上是增函数；
则其中真命题是__ ．

15．已知点、分别为双曲线的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）已知角，向量m，n，且m·n=1，.
（1）求角的大小；
（2）求函数的单调递减区间.
17．（本小题满分13分）班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.
（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
（2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.
18．（本小题满分13分）在直四棱柱中，，底面是边长为1的正方形，、分别是棱、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
19．（本小题满分12分）如图，是一块边长为的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度与底面边长的比不超过常数.
（1）写出水箱的容积与水箱高度的函数关系式，并求其定义域；
（2）当水箱高度为何值时，水箱的容积最大，并求出其最大值.
20．（本小题满分12分）数列满足，数列是首项为1，公比为的等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
F2
T
O
P
y
x
（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．

重庆市重点高中2010届高三第三次联合模拟考试
数学试题（理）参考答案
1．B 依题意得，，，选B.
2．B ，故选B.
3．A a+b，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，向量a+b所在的直线可能为轴，选A.
4．C 结合函数图象知：选项A、D中函数在上有增有减，选项B中函数在上为减函数，只有选项C中函数在上是增函数.
5.A由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以
且，．
6．D 由余弦定理得：

，故选D.
7. B，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，
8．C 易得，函数在R上有两个相异极值点的充要条件是且其导函数的判别式大于0，即且，又在区间上取值，则，点满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.
9. C取特殊点，则直线的方程为，又直线的方程为
，直线的方程为，解得的坐标为，
，易得．（若设任意点也可得此结果）
10.B 令，则
即，或，故选B．

11．45 由，得，.
12. 由图可知前组的频率为，所以第组
13．1505 由题意知，
，.
14. ①③依题意知，画图可知①③正确．
15． ，，则，，.
16．解析：（1），，且，，
即，或.
角，，.
（2），
.
函数的单调递减区间为.
17．解析：(1)利用树状图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．

由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因此，这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取的2人中有1人是女生”，用A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2，4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出．
第
二
次
抽
取
第
一
次
抽
取

1
2
3
4
5
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率为.
18．解析：（1）取的中点，连接.
、分别是棱、的中点，，且，
四边形为平行四边形，.
又、平面，、平面，
平面平面.
、平面，且，
平面平面.
平面，平面.
（2）.
同理可得：.
.
同理可证得.
又平面平面，
平面.
19．解析：（1）由题知，水箱的底面边长为，高为，则.
，.
又且，.
所求的定义域为.
（2），，令，解得或（舍）.
①若，即时，

+
0
-

↗
最大值
↘
当时，取得最大值，且最大值为.
②若，即时，，，在上是增函数，
当时，取得最大值，且最大值为.
综上可知，当，时，水箱容积取得最大值；当，时，水箱容积取得最大值.
20．解析：（1）由得
，又，
数列是首项为1，公比为的等比数列，.
当时，
，
经检验它对也成立，数列的通项公式为.
数列是首项为1，公比为的等比数列，.
（2）.
.
记，①
则 ②
由①-②得：
，
.

21. ．解析：（1）依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而
，，从而解得，故离心率的取值范围是；
（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组
得，设，则有，，代入直线方程得，
，又，，
，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，
，，，所以．

用心 爱心 专心