陕西省长安2011高三数学第二次质量检测 理 北师大版 .doc

陕西省长安一中高2011级第二次质量检测数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
1．已知集合，，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
2．复数 (i是虚数单位的实部是 （ ）
A． B． C． D．
3．命题“若”的逆否命题是 （ ）
A．若 B．若
C．若 D．若
4．函数的定义域为 （ ）
A．　 B．　 C．　 D．
5．下列命题中，真命题的是 （ ）
A．存在 B．任意
C．存在 D．任意
2,4,6
6．函数的零点个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）
则该几何体的体积（单位：m3）为 （ ）A． B． C． D．
8．已知等差数列，，，则过点，的直线的斜率为
（ ）
A． B． C． D．
9．已知，且，则下列不等式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2011）的值为
（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）
输出b

开始

结束
否
是

11．，分别以3a, 2a,a,为长，宽，高的长方体表面积是 ．
12．已知＝(3,2)，=(－1,2)，(＋λ)⊥，则实数λ＝________.
13．已知点P(x,y)的坐标满足条件，
那么的取值范围是 .
14．右图程序输出结果为_______________
15．在全运会期间，5名志愿者被安排参加
三个不同比赛项目的接待服务工作，则
每个项目至少有一人参加的安排方
法有 ．
三、解答题（本大题共6小题，共计75分）
16．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）记的内角A、B、C的对边长分别为
求a的值。
17．（本小题满分12分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．
（Ⅰ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（Ⅱ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．

1
2
3

2
3
3
7
1
0
1

4
7
5
4
2
3
2

甲
乙

18．(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和Sn满足 (n∈N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式,并比较与的大小;
(Ⅱ)设函数,令,求数列的前n项和Tn.
19．（本小题满分12分）
P
R
A
B
C
D
已知等腰直角三角形，其中∠=90°，．点、分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分13分）
已知函数（为常数），直线l与函数的图象都相切，且l与函数的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）当k＞0时，试讨论方程的解的个数．
21．（本小题满分14分）
设椭圆的离心率，，右焦点到直线的距离为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
B
B
A
C
C
B
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）
11．88 12．－ 13．[－3，1] 14． 16 15． 150
三、解答题（本大题共6小题，共计75分）
16．解：
（Ⅰ）
………………3分
………………6分
（Ⅱ）由 ………………7分
解法一：由余弦定理
得 ………………12分
解法二：由正弦定理
当 ………………9分
当 ………………11分
故a的值为1或2 ………………12分
17．解：
（Ⅰ）
…………………2分
………………4分 ………………………………………………………………………………………5分
，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………6分
（Ⅱ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49．
…………………8分
其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场。 ……………10分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为 ………………………………12分
18．解：（Ⅰ）当时,,
∴,
由得
∴数列是首项公比为的等比数列
∴． ……………………………4分
由得
∴ ∴． …………………………6分
（Ⅱ）
＝
＝…………………………8分
∵
∴＝．……12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵点分别是、的中点，
∴ ． ……………………………… 2分
∴ ∠．
∴ 又⊥，
∴ ∴
∵ ,
∴ ⊥平面． ……………………………… 4分
∵ 平面,
P
R
A
B
C
D
x
y
z
∴ ． ……………………………… 6分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．
则（－1，0，0），（－2，1，0），
（0，0，1）．∴=（－1，1，0），
=（1，0，1）, ………………8分
设平面的法向量为，则
………………………………10分
令，得，
∴ ．
显然，是平面的一个法向量=（）．
∴ cos<，>=．
∴ 二面角的余弦值是． ………………………………12分
20．解：（Ⅰ）
②③②
①③②

比较①和②的系数得。 ………………………… 5分
（Ⅱ）

－1
（－1,0）
0
（0，1）
1

+
0
－
0
+
0
－

↗
极大值ln2
↘
极小值
↗
极大值ln2
↘
由函数在R上各区间上的增减及极值情况，可得
（1）当时有两个解；
（2）当时有3个解；
（3）当时有4个解
（4）当k=ln2时有2个解；
（5）当时无解。 ………………………… 13分
21．解：（I）由
由右焦点到直线的距离为
得：
解得
所以椭圆C的方程为 ……………………………………4分
（II）设，
直线AB的方程为
与椭圆联立消去y得
, …………………………………6分
…………………………………7分
即 ．
,
整理得, …………………………………8分
所以O到直线AB的距离
……………………………………10分
，
当且仅当时取“=”号。 ………………………………12分
由得
，
即弦AB的长度的最小值是 ……………………………………14分