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例说因式分解的方法与技巧 【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法 【关键词】 多项式 因式分解 应用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。一、 多项式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。二、 多项式因式分解的方法（一）提公因式法 定义： 把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两因式相乘的形式叫提公因数法。. 提公因式法基本步骤：1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式 除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。例1 ；（二）运用公式法平方差公式：；完全平方公式：；立方和公式：； 立方差公式：； 完全立方公式： 运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个因式的乘积的形式的方法。在运用乘法公式分解因式时，一定要熟练掌握几个乘法公式，并且把所有要分解的多项式和公式进行对比，观察多项式中的哪一项相当于公式中的哪个字母，同时还要注意它的符号，以免带来错误的解法。（三） 分组分解法分组分解法是先根据多项式的特点，将其恰当分组，然后各组分别变形，如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因。比如： =我们把和分一组，和分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做= = （四）十字相乘法十字相乘法实际上是借助十字交叉分解系数，建立的十字交叉线图，既直观又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数 ，使之达到分解因式的目的，这种方法体现了数学中的一种思想，那就是数形结合的思想。如果有，且有时，那么 例2：因为 1 -3 7 2 -37=-21，12=2，且2-21=-19， 所以（五）求根公式法 令多项式,求出其根为，则该多项式可分解为例如在分解时，令=0 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1 所以=（六）配方法对于直接用十字相乘法比较难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。配方法是数学中极其重要的一个方法，在代数式中利用添项的方法，给原来的多项式配上适当部分，是添加后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫配方法。 例3： = = =（七）待定系数法 待定系数法求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力工具，用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程确定待定系数的值。例4解：用待定系数法：设 =把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得=用恒等式的性质，比较同类项系数，=本题也可用换元法：设, 那么把左边关于的多项式化为关于 的多项式，最后再把换成 1待定系数法的关键是首先判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。（八）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元. 例5 在分解时，可以令,则 解： 原式= = = = = = 三、多项式因式分解的特点结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。 对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。 四、因式分解四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例6 把分解因式。 解： 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如=的错误 例2把分解因式。解：= 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公 因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了五 、多项式因式分解的一般步骤（一）如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；（二）如果各项没有公因式，那么可尝试用公式或十字相乘法来分解；（三）如果上述方法不能分解，那么可尝试用分组、待定系数法或换元等方法来分解。 六、多项式因式分解的应用 在数学中，因式分解是一种基本的恒等变形，在公式的计算、解方程、解不等式、等式的证明等中却是不可缺少的一种工具5