专升本数学习题.doc

专升本数学习题

资料仅供参考
《微积分》部分
第1次
1．已知函数，。
2．试判断下列函数的奇偶性：（1）答： ，
（2），答： ，（3）答： ，
3．指出下列函数由哪些基本初等函数复合而成的：
（1） （2）

4．已知，，求。

5．设满足等式，求

6、某厂生产产品1000吨,每吨定价130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表示式表示.

7．某饭店现有高级客房60套，当前租金每天每套200元则基本客满，若提高租金，预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来，试问租金定为多少时，饭店房租收入最大？收入为多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？

第2次
1．填空：（A）观察下列数列与函数的变化趋势，并写出它们的极限
（1），答 ；（2），答 ；（3），，答 ；
（4） （5）
2．求下列极限：⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻ ⑼
⑽ ⑾ ⑿
⒀ ⒁ ⒂
3、考察下列函数在分段点的极限的存在性。并画出函数图象：
⑴ ， ⑵ 。

4、己知函数在处的极限存在且等于其函数值，求常数。

5．⑴试确定的值使；

⑵试确定的值使。

第3次
1、求下列极限
⑴ ⑵
⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺ ⑻

⑼ （其中为正整数） ⑽

⑾ （12）

2、设存在，且，求
第4次
1、比较下列无穷小量：
⑴ 与 （） ⑵ 与 （）

2、求下列极限
⑴ ⑵

⑶ ⑷

(5) (6)

(7) (8)

3、写出下列函数的连续区间与间断点
⑴ ⑵
4．讨论 在分断点处的连续性，间断点要指出其类型。

5．设函数在（）内连续，试确定的值。

6、设存在，且，求

第5次
1．求下列极限：
(1) =
(2) =
2．证明方程在（0, 1）内至少有一根。
3．证明函数必有一个小于0的零点。

4、设函数在区间上连续，且，证明在内至少存在一点，使.

第6次
1．根据导数的定义求函数的导数。

2．设函数，根据导数的定义求。

3. 设，求。

4．讨论函数在x=1处的连续性与可导性。

5．求曲线在点（1, 1）处的切线方程和与法线方程。

6．设是有界函数，，求

7、设在x=0处可导，试求常数a与b的值。

第7次
1．求下列各函数的导数（a, b, c为常数）
① ②

③ ④

⑤ 求 ⑥ 求。

2．求下列各函数的导数
① ②

③ ④

⑤ ⑥

(7) (8)

第8次
1．①求方程确定的隐函数的导数

②求曲线在点(1，1)处的切线方程。

③求由所确定的隐函数在处的导数

2．用对数求导法求下列函数的导数
① ②

3．求下列各函数的二阶导数
① ②

③求在x=1处的二阶导数。

4．设，求。

5．求下列各函数的微分
① ②

③ ④

6．求下列各方程确定的隐函数的微分
① ②

第9次
1．某化工厂日产能力最高为1000吨，每日生产的总成本c元是日产量x吨的函数。
①求当日产量为100吨时的平均单位成本。
②求当日产量为100吨时的边际成本。

2．已知某产品的价格P是销售量x的函数：，①求边际价格，②求销售量为x单位时的边际收入。

3．某企业生产某种产品，每天的总成本C元与产量x吨之间的函数关系为：，如果每吨产品的销售价格为490元，求：①边际成本，②边际利润，③边际利润为零时的产量。

4．设某商品需求量Q对价格P的函数关系为，求需求量Q对价格P的弹性。

5．设某商品的销售量Q与价格P之间有关系式，试求：
①需求弹性。
②价格为单位时的需求弹性.

第10次
1．逐条检验函数在区间上是否满足罗尔定理的条件，若满足就求出定理中的数值.

2．对于函数，不求解方程，利用罗尔定理指出有几个实根以及各个根的取值范围。

3．设在上可导，且. 证明：在内至少存在一点，使. (提示：对函数利用罗尔定理)

4．利用拉格朗日中值定理证明下列不等式。
①； ② ().

(3) 时，

5．证明恒等式：.

第11次
1．用罗必达法则求下列各极限
① ②

③ ④

⑤ ⑥
⑦ ⑧

⑨ ⑩

2．验证极限不能用罗必达法则求出，并用其它方法求出其极限。

3．已知，试求常数的值。

第12次
1．求下列函数单调区间
① ②

2．证明函数在定义域内单调减少。
3．利用函数单调性证明下列不等式
①当时，; ②当时，

(3)当时，.

4．求下列函数的极值与单调区间
①； ②

5. 利用二阶导数求的极值。

第13次
1．求下列函数的凹凸区间和拐点
① ②

2．确定常数、、的值，使有一拐点，且在处取极值。

3．求下列曲线的水平与铅直渐近线
① ②

第14次
1．求函数的最大值与最小值。

2．设某商品的销售量与价格之间的关系为：，试问价格为多少时，销售收入最大？最大销售收入为多少？

3．设每周生产某商品单位的总成本为(元)，销售单价为20元. 问每周生产该商品多少单位时才能获得最大利润？最大利润是多少？

4．设生产某产品千件的平均成本为(元)，公司以每件1元的价格出售该产品，问生产多少千件产品才能得到最大利润？

5．设某商品的需求量是单价的函数： (元)，商品总成本是需求量的函数： (元)，若每单位商品纳税2元，则
（1）求纳税后不盈不亏时的商品价格；
（2）求纳税后的销售利润达到最大时的商品价格和最大利润额。

第15次
1．已知，求..
2．求经过点（），且在任意点处的切线的斜率等于的曲线方程。

3．已知求.

4．若是的一个原函数，求.

5．求下列不定积分
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

第16次
1.求下列不定积分
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

（13） （14）

（15） （16）

第17次
求下列不定积分
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

第18次
1. 若是的一个原函数，求、和.

2．求下列不定积分
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

第19次: 求下列不定积分
（1） （2）

（3） （4）

（5） (6)

(7) (8)

第20次
1．在下列定积分的被积函数的图象中指出一块面积，使之与相应的定积分值相等（用阴影表示在平面直角坐标系上）
(1)； (2)

2．根据定积分的几何意义，用定积分表示由曲线和所围成图形的面积。

3. 利用定积分的几何意义填空：
(1) = ； (2)=
第21次
1.计算下列积分
(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9)函数，计算；

2．求下列函数的导数
(1) (2)

3．求下列极限
(1) (2)

第22次
1．计算下列积分
(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)
(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

2. 设是连续函数，证明：。

3．求下列广义积分
(1)； (2)

第23次
1、计算下列各小题中的曲线围成的图形的面积。
(1)由，和所围成的部分。
(2)和所围成的部分。

(3)由和所围的部分。

2、求由和所围成的部分分别绕x轴和y轴旋转一周的体积。

3、求由曲线与直线，，所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积。

4、已知抛物线与三直线，
（1）当为何值时，它们所围成的图形面积最小？
（2）求此最小面积图形分别绕、轴旋转一周所得几何体的体积。

第24次
1、 判断下列级数的敛散性，并求收敛级数的和
； ；

；

1 + 2 + 3 + … + 99 +； + + + … + + …；

⑧；

2、设级数收敛，级数发散，证明：级数发散，并由此判断级数的敛散性。

第25次
1、判断下列正项级数的敛散性

2、 证明：

第26次
1、判断下列级数是否收敛，若收敛指出是条件收敛还是绝对收敛？
（1） （2）

（3）（其中是任意一角的弧度值） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

2、讨论级数的收敛情况（包括条件收敛与绝对收敛 其中）

第27次
1、求下列级数的收敛半径和收敛域
； ；

（4）

2、求幂级数的收敛域与和函数
； ；

③

第28次
1、将下列函数展开成麦克劳林级数, 并写出收敛域.
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

2、将函数展开成的幂级数，并写出收敛域。

3、将函数在处展开成幂级数，并写出收敛域。

4、求级数的和。

第29次
1、验证下列各题中给出的函数是否为对应方程的解，若是解，则指出是其通解，还是特解。
；
2、求解下列微分方程
；

；

3、求解下列微分方程。

4、求解下列微分方程
； ；

；

5、求解下列微分方程
； ，（注：不显含y）

第30次
1、求下列微分方程的解
，

，

2、 已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解为：1和，
试写出该微分方程；写出该微分方程的通解。

3、求解下列微分方程：
，

4、已知函数,,都是方程的解,
试写出的通解； 试写出的通解；
写出方程的具体形式.

第31次
1．求下列函数的定义域，并在平面直角坐标系下画出其定义域的略图。
（1）z=lnxy （2）

（3） （4）

2．求极限
① ②

③ ④
第32次
1．设，求

2．设，求

3．求下列函数偏导数
①； ②；

③；

第33次
1、按要求求下列函数的高阶导数
,求,,; ,

2、求下列函数的全微分
； ；

3、设，求及。

第34次
1．，其中，求。

2．，其中，,求。

3．，求.

4.已知可微，若，求。

第35次
1．已知是由方程确定的隐函数，求。

2．已知是由方程确定的隐函数，求。

3．由方程确定，求。

4．设确定隐函数，试求。

第36次
1、 求二元函数的极值

2、某工厂生产两种型号的精密机床,其产量分别为台,总成本函数为(单位:万元).根据市场调查,这两种机床的需求量共8台.问应如何安排生产,才能使总成本最小?

第37次
1、化为二次积分,其中积分区域D是：
由和所围成的；

由和围成的。

2、画出下列累次积分所表示的二重积分的积分的积分区域，并交换其积分次序。
；

3、计算下列二重积分
，D是由所围成。

，其中D是由直线所围成。

，D由所围成。

4、计算积分,是圆心在原点,半径为3的闭圆

5、计算二重积分, 其中是圆环形域

6、计算二重积分, 其中为圆域

《线性代数》部分
第38次
1．利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1) ； (2)
2. 用行列式性质计算下列行列式
(1) (2)
3. 用化上三角形行列式的方法计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
4. 解关于的方程

第39次
1．计算行列式
(1) (2)
(3) (4)
2. 设和分别是行列式中元素的余子式与代数余子式，试求：(1) (2)

3. 问取何值时线性方程组有非零解？

第40次
1．设(1)求 ； (2) 求

2．设，，求与

3．已知，求

4．设，，求与

5．设，求

第41次
1．若，求
2．判断矩阵是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵

3．解矩阵方程
(1) ； (2) ；

4．设，其中，，求与

5．设为3阶矩阵，，是的伴随矩阵，
(1) 求与 ； (2) 求

6．设方阵满足，证明：可逆，并求.

第42次
1．用初等行变换化矩阵为阶梯矩阵及行简化阶梯矩阵。

2．用初等行变换求矩阵的逆矩阵。

3．用初等行变换解矩阵方程，其中.

4．用初等行变换求矩阵的秩。

5．设，，求与的值。

第43次
1．判断下列线性方程组解的情况
（1） （2）

（3）

2．问为何值时，齐次线性方程组有非零解？在有非零解时求出其一般解。

3．求线性方程组的一般解。

4．问取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？

第44次
1．已知，，，，问能否被线性表示？若能，写出具体表示式。

2．判断下列向量组的线性相关性
(1) ，，

(2) ，，，

(3) ，，

3．问为何值时，向量组，，线性相关？

4．设向量组线性无关，证明：向量组线性无关。

第45次
1．求下列向量组的秩与一个极大无关组
(1) ，，

(2)，，，

2．设向量组，，，的秩为2，求与的值。

3．求向量组：，，，的秩与一个极大无关组，并用该极大无关组线性表示其余向量。

4．设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：能由向量组线性表示。

第46次
1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及向量形式的通解。
(1) ；

(2)

2. 求非齐次线性方程组的向量形式通解。

3．设4元非齐次线性方程组系数矩阵秩为3，是它的三个解向量，，，求该非齐次线性方程组的通解。

4．问取何值时，非齐次线性方程组(1) 有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。

5．设是非齐次线性方程组的一个解，为对应齐次线性方程组的一个基础解系。证明：,线性无关。