平面向量一(教师版).doc

专题复习二十五讲

第二十五讲 平面向量(一)
一、知识梳理：
1．平面向量的有关概念：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.
2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算
1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2) 重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.

3．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
特别提醒：
(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
4．平面向量的坐标表示

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
5．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则=，=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则 ，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
6．向量坐标
(1) 若,则
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)则,
(3)设则向量共线:；向量垂直:，
二、基础检测：
1、.断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则；
(7)若，，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确 (3) 不正确 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确 （6）正确 （7）不正确，因若 (8) 不正确
2. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )
A． B． C． D．
【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.故．
3. 设非零向量,,,若= + + ,则||的取值范围是（　）
A．[0,1] [0,2] [0,3] [-3,3]
答案：、、是单位向量,把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时||最大为3，终点均匀分布在单位圆上时||最小为0.
4.已知+=，-=，用、表示= 。
答案： 提示：（+）+（-）=+=
所以=

5. 已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________.
【解析】如图, ∵、、t（+）三向量的终点在一直线上,
∴存在实数使:t（+）—=（—）
得（t—）=（——t）又∵、不共线，∴t—=0且——t=0
解得t=
6. 已知向量，，若∥，则锐角等于（ Ｂ ）
A． B． C． D．
7．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（ C ）
A B － C － D
8． 如图，设P、Q为△ABC内的两点，且， ＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A． B． C． D．
[解析]如图,设,则由平行四边形法则知NP∥AB，所以=，同理可得
。故,即选B.
9.和= (3,－4)平行的单位向量是_________；
A
B
C
H
M
解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)
10.若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 则P点的坐标为(-1, -)
11．如图，在△中，已知，，，
于，为的中点，若，则 .
答案： 解析：，，,所以BH=1，为的中点，所以
12．已知向量，若不超过5，则的取值范围是 ．
解析： =解得的取值范围是[-6，2]
13.已知向量，,向量与平行,︱︱=4则向量的坐标是_____________ 或

三、典例导悟：
14、平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k； ()
（3）若满足，且，求 ;设 得
15、已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？
【解析】 ∵ 2—4,∴ 存在唯一实数使＋2=2—4），将、的坐标代入上式得（—6，2＋4）=14，—4），得—6=14且2＋4= —4，解得= —1
16、已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。
【解析】设D(x,y), 则，得　所以

17、如图，在△OAB中，，，AD与BC交于M点，设，，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。
求证：。
解：（1）设，则+，，∵A、M、D三点共线， ∴共线，
∴ ∴m+2n=1……① 而，=， ∵C、M、B三点共线， ∴共线
∴= ∴4m+n=1……② 联立①、②解得m=， n=，故。
（2）证明：∵=（-）， =
∵共线， ∴= ∴-
∴。

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