正方形的判定.doc

正方形的性质与判定
一、选择题(本大题共10小题)
1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（　　）
A.22.5°      B.25°      C.23°     D.20°
2.如一个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（　　）
A.平行四边形       B.菱形          C.正方形         D.矩形
3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD； ③AB=CD；④AC⊥BD．需要满足（　　）
A.①②          B.②③          C.②④          D.①②或①④
4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（　　）
A.3           B.12           C.18           D.36
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（　　）
A.平行四边形       B.矩形       C.菱形      D.正方形

第1题图 第4题图 第5题图 第7题图
6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（　　）
A.3cm          B.4cm          C.6cm          D.8cm
7.如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积的和为（　　）
A.x2  B.x2  C.x2  D.x2
8.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A.30           B.34           C.36           D.40
9.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（　　）
A.           B.          C.a            D.2a
10.已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是（　　）
A.2           B.4           C.6     

第8题图 第9题图 第11题图 第12题图
二、填空题(本大题共6小题)
11.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．

12. 如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为 ______ ．

13. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．

14. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 ______ 时，四边形BEDF是正方形．

15. 如图，正方形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点H从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的面积为 ______ ．

16.如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ______ ．

三、解答题(本大题共8小题)
17.已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：DP=EF．
（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．

18.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．

19.已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．

20.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．

正方形的性质与判定练习参考答案　
一、 选择题。
1.A
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°．
故选A．
2. C
解：如果一个边形两对角线相垂直分且相等，那么这个边形正方形，
求证四边形ABC正方形，
∵ACBD，
∴平四边形CD为菱形，
已知：四边ABCD，A⊥，O=O，OBOD，AC=BD，
∴四边形ACD为方形．
边形ABCD为平行四形，
选C．
3.D
解：∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
若AB=AD
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故选D．
因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
4.C
解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，
∴AB=BC，OA=OC，
∴AB=，
∴正方形的面积=，
故选C．
5.D
解：四边形ABCD的形状是正方形，
理由如下：
∵AO=C0=BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AO=C0=BO=DO，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD是正方形，
故选D．
6.B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
7. B
解：∵FP∥CD，
∴∠BPF=∠C=90°（同位角相等）；
在△BFP和△BDC中，
，
∴△BFP∽△BDC，
∴=，
同理，得=，
又∵AD=CD，
∴NF=FP，
∵∠BNF=∠BPF=90°，BF=BF，
∴△BNF≌△BPF，
∴S△BNF=S△BPF，
同理，求得多边形NFEM与多边形PFEQ的面积相等，多边形MEDA与多边形QEDC的面积相等， ∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即．
故选B
8. B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH==，
∴四边形EFGH的面积是：×=34，
故选B．
9.A
解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴EG=CG，EF=AF，
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC=，
∴EF+EG等于，
故选A．
10. C.
解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为2，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S=ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S=××=6， 故选 C．
二、填空题。
11.
解：如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是正方形，DF=2．CF=3，
∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，
∴==，
∴CG=，
∵四边形ENCM是正方形，
∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，
∴MH∥CG，
∴=，
∴=，
∴x=，
在RT△BNK中，∵∠BKN=90°，NK=CH=，BK=BC-CK=，
∴BN===．
故答案为．
12.解：∵四边形ABCD、EFGH均为正方形，
∴∠A=∠B=90°，∠EFG=90°，EF=FG．
∵∠AFE+∠BFG=90°，∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE=∠BGF．
在△AFE和△BGF中，，
∴△AFE≌△BGF（AAS），
∴BF=AE=1．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，AF=AB-BF=3．
同理可证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．
∴S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AFE=16-4××1×3=10．
故答案为：10．
13.解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°-45°=45°；
故答案为：45°．
14. 解：当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．
理由：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵DE∥BC，
∴∠FBD=∠EDB，
则∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
故平行四边形DEBF是菱形，
当∠ABC=90°时，
菱形DEBF是正方形．
故答案为：∠ABC=90°．
15.解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
∵正方形ABCD的面积为4×4=16，4个扇形的面积为4×=4π，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为16-4π．
故答案为16-4π．
16. 解：连接AE，
∵四边形ABCD、APEF是正方形，
∴A、E、C共线，
①当CD=CE=时，AE=AC-EC=2-，
∴AP=AE=-1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，
∴AE=AC-EC=1，
∴AP=AE=．
∴当△CDE为等腰三角形时，AP=-1或．
故答案为或．
三、 解答题。
17.证明：（1）如图1所示：连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四边形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．
（2）DP⊥EF．
理由：如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．
∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP=∠CBP．
∵四边形BFPE是矩形，
∴∠CBP=∠FEP．
∴∠CDP=∠FEP．
又∵∠EPG=∠DPH．
∴∠EGP=∠DHP．
∵PE⊥AB，AB∥DC
∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．
∴∠EGP=∠DHP=90°
∴PG⊥EF，即DP⊥EF．
18.解：（1）根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，
所以，全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE；
（2）∵∠DEB=140°，
∴∠BEC=∠DEB=×140°=70°，
又∵正方形对角线AC平分∠BCD，
∴∠ACB=45°，
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BEC-∠ACB=180°-70°-45°=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=65°．
19.解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
20.解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．

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