陕西省陕师大附中2012届高三上学期期中试题数学文.doc

陕西师大附中2011—2012学年度第一学期
期中考试高三年级数学(文科)试题

一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
1．已知集合,,,则的子集共有【 】.
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
2．若是夹角为的单位向量，且，，则等于【 】.
A．1 B．－4 C．－ D.
3. 设是向量，命题“若，则”的逆否命题是【 】.
A. 若则 B. 若则
C. 若则 D. 若则
4．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为【 】.
A． B． C． D．
5．已知非零向量满足，且，则 的形状为【 】.
A.等腰非等边三角形 B.等边三角形
C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
6．函数的图象与直线相切，则等于【 】.
A. B. C. D.
7．下面四个图象中，有一个是函数的导函数的图象，则等于【 】.
A． B． C． D．
8. 已知： 则的最小值为【 】.
A． B. C． D．
9.下图是函数的图象的一部分,则函数的解析式以及的值分别为【 】.
A.,
B.,
C.,
D.,
10．设 ，当时，恒成立，则实数的取值范围是【 】.
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）
11. 在正项等比数列中，，则_________.
12. 定义函数 则不等式 的解集是_________ .
13．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则 =_________ .
14. 已知是坐标原点，点 若点为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是_________.
15．西安市某医院近天每天入院注射流感疫苗的人数依次构成数列，已知，，且 ，则该医院这天入院注射流感疫苗的人数共有________人．
三、解答题（本题共5小题,共75分）
16．（本小题满分12分）在中，角、、 所对的边分别为、、，若向量，，且 ．
(Ⅰ)求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积，求的值．

A
B
C
D
F
E

17.（本小题满分12分）如图所示，正方形与直角 梯形所在平面互相垂直，，，.
(Ⅰ)求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积.

18.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

19.（本小题满分12分）已知函数，．
(Ⅰ)求函数图像的对称轴方程；
(Ⅱ)求函数的最小正周期和值域．

20.（本小题满分13分）已知函数 的图像经过坐标原点，且，数列{}的前n项和.
(Ⅰ) 求数列{}的通项公式；
(Ⅱ）若数列{}满足, 求数列{}的前n项和.

21．（本小题满分14分）设函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；
（Ⅱ）记函数，若函数有零点，求的取值范围.

陕西师大附中2011—2012学年度第一学期
期中考试高三年级数学(文科)试题
一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）
题号
11
12
13
14
15
答案

三、解答题（本题共6小题,共75分）
16.

A
B
C
D
F
E
17.

18.

19.

20.

21.

陕西师大附中2011—2012学年度第一学期
期中考试高三年级数学(文科)参考答案
一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
A
B
C
C
D
二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）
题号
11
12
13
14
15
答案

三、解答题（本题共6小题,共75分）
16．（本小题满分12分）在中，角、、 所对的边分别为、、， 若向量，，且 ．
(Ⅰ)求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积，求的值．
解：(Ⅰ)∵，
∴，………………2分
即，∴，…………………………4分
∴．
又，∴．…………………………6分
（Ⅱ），
∴． …………………………8分
又由余弦定理得：
，…………………………10分
∴，∴．…………………………12分
A
B
C
G
F
E
D
O
17.（本小题满分12分）如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
(Ⅰ)求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积.
(Ⅰ)证明：设，取中点，
连结，所以，.
因为，，所以，
从而四边形是平行四边形，. …………………………2分
因为平面,平面, …………………………4分
所以平面，即平面. …………………………6分
（Ⅱ）解：因为平面平面，,
所以平面. …………………………8分
因为,,，
所以的面积为， …………………………10分
所以四面体的体积. …………………………12分
18.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
解：（1）由题意：当时，；
当时，设 …………………………2分
再由已知得解得 …………………………4分
故函数v(x)的表达式为………………6分
（2）依题意并由（1）可得， …………8分
当时，为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值. …10分
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
…………………………12分
19. （本小题满分12分）已知函数，．
(Ⅰ)求函数图像的对称轴方程；
(Ⅱ)求函数的最小正周期和值域．
解：（I）由题设知．…………………………2分
令， ………………………4分
所以函数图像对称轴的方程为（）． ……………6分
（II）
．…………………………10分
所以，最小正周期是，值域 ． …………………………12分
20.（本小题满分13分）已知函数 的图像经过坐标原点，且，数列{}的前n项和.
(Ⅰ) 求数列{}的通项公式；
(Ⅱ）若数列{}满足, 求数列{}的前n项和.
解：(Ⅰ) ∵ 的图像经过坐标原点，
由得，，
…………………………3分

……………5分
，所以数列{}的通项公式为 ……7分
(Ⅱ）由，得
……………9分
(1)
(2)
(2)-(1) 得
∴ …………………………13分
21．（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；
（Ⅱ）记函数，若函数有零点，求的取值范围.
解：（1） ＝
当 时， …………………………3分
当 时，∴ …………………………6分
（2）函数有零点即方程 有解
即 有解 …………………………8分
令
∵ ………10分
∴函数在上是增函数，在上是减函数， ………………12分
∴，且当时

∴方程有解时
即函数有零点时 …………………………14分