信号处理第2章作业(1,2,3,4,5) (3).doc

6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。
解：
（1）求阶数N。

边界衰减比
过渡比
将和值代入N的计算公式得

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）
（2）求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为

或
当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

按（6.11）式写出表达式

代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。
由于本题中，即，因此

对分母因式形式，则有

如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

3.设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率fp=20kHz，阻带截止频率fs=10kHz，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减为15dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解：（1）确定高通滤波器的技术指标：
， ， ，
（2）转化为相应的归一化低通滤波器的技术指标：
， ， ，
（3）求低通滤波器的阶数N

取
（4）求巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数, 查表6.2.1可得：

（5）通过频率转换，把转变为高通滤波器的系统函数

式中

4. 已知模拟滤波器的传输函数为：
(1)；
(2)。式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。
解：
该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。
（1）
的极点为：
，
将部分分式展开（用待定系数法）：

比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：

解之得

所以

按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。
（2）
的极点为：
，
将部分分式展开：

通分并化简整理得