点线面的位置关系.doc

点线面的位置关系
一、 平面
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
1）两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
2）过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.
（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
3）三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.
4）三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）

二、 直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
异面直线所成角：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
5）两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.
（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
6）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
7）若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是
相交、平行、在平面内.
8）两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
9）在平面内射影是直线的图形一定是直线.
（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
10）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.
（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）
11）是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.

三、 直线与平面的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，
b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
3、由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]
4、最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
5、（补）三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
6、直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。
7、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
8、直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
9、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
10、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
11、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
12）①直线与平面内一条直线平行，则∥.
（×）（平面外一条直线）
13）直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.
（×）（平面外一条直线）
14）若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.
（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
15）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
16）平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）
17）平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
18）直线与平面、所成角相等，则∥.
（×）（、可能相交）

四、 平面与平面的位置关系
1、平面与平面有两种位置关系：
（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点
（2）两个平面的位置关系：
2、两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。
3、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
5、二面角
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
6、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥
7、两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
8、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
9、二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）
19）垂直于同一平面的两个平面平行.
（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）
20）垂直于同一直线的两个平面平行.
（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
21）垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
22）为边长为的正三角形所在平面外一点且，则到的距离为______。翰林汇
23）四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________。翰林汇
24）三棱锥 则二面角的大小为____翰林汇

25）已知为空间四边形的边上的点，且．求证：.

26） 如图：是平行四边形平面 外一点，分别是上的点，且=， 求证：平面

27）如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：EF∥平面PAD.