限时集训(八)-二次函数与幂函数.doc

限时集训(八)　二次函数与幂函数

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2013·徐州期中)幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f的值为________．
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么f(2)与f(3)的大小关系为________．
3．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．

4．已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则幂函数的解析式为________．
5．(2012·泰州质检)若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是________．
6．(2013·淮南期中)函数y＝2x－x2的图象大致是________．

7．若二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c的值域是[0，＋∞)，则a＋c的最小值为________．
8．(2012·温州模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为________．
9．(2012·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
10．(2012·无锡联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数？
(2)反比例函数？
(3)二次函数？
(4)幂函数？

12．(满分14分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1<x<3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．

13．(满分16分)(2012·昆山模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．

14．(满分16分)(2012·启东模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝
求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

答案

[限时集训(八)]
1．解析：设f(x)＝xα，则4α＝，α＝－，即f(x)＝x－，于是f＝－＝2.
答案：2
2．解析：由所给条件知：该函数图象关于直线x＝对称，而2,3也是关于直线x＝对称的，所以有f(2)＝f(3)．
答案：f(2)＝f(3)
3．解析：对于①，若a<0，－<0，则b<0，由abc>0，知f(0)＝c>0，故①错；对于②，若a<0，－>0，则b>0，由abc>0，知f(0)＝c<0，故②错；对于③，若a>0，－<0，则b>0，由abc>0，知f(0)＝c>0，故③错；对于④，若a>0，－>0，则b<0，由abc>0，知f(0)＝c<0，故④正确．
答案：④
4．解析：由幂函数的定义结合已知得：m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，所以y＝x－3，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，所以y＝x0＝1(x≠0)，在(0，＋∞)上是常数函数，不合题意，舍去．故所求的幂函数为y＝x－3.
答案：y＝x－3
5．解析：设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m＋4<0，
解得m>.
答案：m>
6．解析：因为当x＝2或4时，2x－x2＝0，所以排除②③；当x＝－2时，2x－x2＝
－4<0，故排除④.
答案：①
7．解析：由已知a>0，＝0，
∴ac＝1，c>0.
∴a＋c≥2＝2.当且仅当a＝c＝1时，取等号，∴a＋c的最小值为2.
答案：2
8．解析：令f(x)＝x2＋ax－2，
由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，
则　解得－≤a≤1.
答案：
9．解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
答案：9
10．解析：若m＝0；显然－1<0恒成立，
若m≠0，
则∴－4<m<0.
故所求范围为－4<m≤0.
答案：(－4,0]
11．解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则⇒m＝1；
(2)若函数f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1；
(3)若函数f(x)为二次函数，则⇒m＝；
(4)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1⇒m＝－1±.
12．解：设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)，
则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，
f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0，
16a2＋16a＋4－36a2＝0,20a2－16a－4＝0，
5a2－4a－1＝0，(5a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝－，或a＝1(舍去)．
因此f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－．
13．解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故即解得
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故即解得
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝
x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴≤2或≥4.∴m≤2
或m≥6.
14．解：(1)由已知c＝1，∵f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，
∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1，在x∈(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，
－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.
故b的取值范围为[－2,0]