第章章末综合检测.doc

(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)
1．命题：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是________．
答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0
2.，是成立的________条件．
解析：由，可知，当，时，不等式组成立，但不满足所以必要性不成立．
答案：充分不必要
3．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是________．
解析：命题的条件为“x2≥1”，结果为“x≥1或x≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结果，即为其逆否命题．
答案：若－1<x<1，则x2<1
4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．
解析：①“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”是真命题；②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝1，b＝－5，因此a2≤b2，但a>b，故②是假命题；③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题；④“相等的角是对顶角”是假命题．
答案：①
5．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①∀x∈R，x2＋x＋1<0；②∀x∈R，x2＋x＋1>0；③∃x∈Z，x2＝2；④∃x∈R，x2＝2.
答案：②④
6．设M、N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的________条件．
解析：由Venn图易知“M∪N≠∅” “M∩N≠∅”，而“M∩N≠∅”⇒“M∪N≠∅”．
答案：必要不充分
7．“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的________条件．
解析：“p且q”为真⇒p真且q真⇒“p或q”为真，反之不成立．
答案：必要不充分
8．已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(3－x)>0，若 p是 q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：－4<x－a<4⇔a－4<x<a＋4，q：(x－2)(3－x)>0⇔2<x<3.又 p是 q的充分条件，即 p⇒ q，它的等价命题是q⇒p，所以解得－1≤a≤6.
答案：－1≤a≤6
9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________．
答案：存在一个偶数不能被2整除
10．下列命题中，假命题是________．
①∃α、β∈R，使sin(α－β)＝sin α－sin β；
②∀a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解；
③∀x、y∈R，≥；
④点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．
答案：②③
11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是____________．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
答案：3≤m<8
12．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sinα＋cosα>1，则α必定是锐角．
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；
③∵b≤－1，∴Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；
④∵当α＝时，sinα＋cosα>1成立，∴此命题是假命题．
答案：①③
13．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，从而a的取值范围为[e,4]．
答案：[e,4]
14．已知“关于x的不等式<3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1，a2)”，则a1＋a2＝________.
解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化为x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0.
∵∀x∈R时，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a－3)2－8<0.
∴3－2<a<3＋2，
∴a1＋a2＝6.
答案：6
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；
(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；
(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1)逆命题：若sinα＝sinβ，则α＝β；
否命题：若α≠β，则sinα≠sinβ；
逆否命题：若sinα≠sinβ，则α≠β.
(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；
否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；
逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．
(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；
否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d；
逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.
16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x －3>x；
(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
17．(本小题满分14分)命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．
解：当甲为真时，设y＝|x|和y＝ax＋1(a>0)，即两函数图象有两个交点，则0<a<1；
当乙为真时，a＝1或，则－≤a≤1，
∴当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，有或，
∴a∈[－，0]∪{1}．
18．(本小题满分16分)求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4.
证明：先证明条件的充分性：
∵⇒a2≥4≥b，
∴Δ＝4(a2－b)≥0，∴方程有实数根．①
∵⇒
∴(x1－2)＋(x2－2)＝(x1＋x2)－4＝－2a－4≤－4－4＝－8<0.
而(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝b＋4a＋4≥－4＋8＋4＝8>0，
∴⇒⇒②
由①②，知“a≥2，且|b|≤4”⇒“方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2”．
再验证条件的不必要性：
∵方程x2－x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，则方程的两根均小于2，而a＝－<2，
∴“方程x2＋2ax＋b＝0的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”．
综上，a≥2且|b|≤4是方程x2＋2ax＋b ＝0有实数根且两根均小于2的充分不必要条件．
19．(本小题满分16分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
解：(1)x∈M或x∈P⇒x∈R，x∈(M∩P)⇔x∈(2,3)，因为x∈M或x∈P x∈(M∩P)，但x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立⇒⇔－4<m<0.又当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0，对x∈R恒成立．故使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件是－4<m≤0.
20．(本小题满分16分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a<0)；命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且 p是 q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：命题p：3a<x<a；命题q：x<－4或x≥－2.
∵ p⇐ q，
∴p⇒q，由数轴可知a≤－4或3a≥－2，
即a≤－4或a≥－.
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，即a的取值范围是(－∞，－4]∪.