矩阵及其运算.doc

一、 矩阵定义：
设有m行n列的数表

称为m行n列矩阵，即矩阵，记作
，，，
或者 ，
其中称为矩阵A的元。当时，A称为n阶方阵，记作或。
例：
产量
油品
B1
B2
B3
B4

炼油厂
A1
58
27
15
5
A2
78
90
20
3
A3
80
25
13
4

可记为

注：1.
称为行向量， 称为列向量

2.

二、 特殊矩阵：
a) 同型矩阵：若，则称和是同型矩阵.
b) 零矩阵：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作.
c) 单位矩阵：n阶方阵称为单位矩阵.
d) 对角矩阵：n阶方阵称为对角矩阵.
e) 数量矩阵：n阶对角矩阵称为对角矩阵.
f) 上三角形矩阵：n阶方阵称为上三角形矩阵.
g) 对称/反对称矩阵：n阶方阵A称为对称/反对称矩阵，若
/，

三、 矩阵的运算
1. 相等：设和是同型矩阵且，.

2. 加法：设有两个矩阵和，则矩阵A与B的和为

例：设

求.

运算性质：
1).
2).
3). 负矩阵：设矩阵，则A的负矩阵为
.
显然，.因此，我们规定矩阵的减法如下：
.
例：设

求.

3. 数乘：数与矩阵的乘积（即数乘）定义如下：
.
运算法则：
1).
2).
3).
例：设

求.

4. 矩阵与矩阵的乘积：
例：某工厂生产三种产品，各种产品每件所需的生产成本估计以及各个季度每一产品的生产件数如下：

生产成本

产品

A
B
C

名目
原材料
0.10
0.30
0.15
劳动量
0.30
0.40
0.25
管理费
0.10
0.20
0.15

生产件数

季度

夏
秋
冬
春

产品
A
4000
4500
4500
4000
B
2000
2600
2400
2000
C
5800
6200
6000
6000
现在希望给出一张指明各个季度所需各类成本的明细表.
解 令
，
所需要的明细表可记为如下矩阵：
季度
成本名目
可利用前面两张表，即矩阵A和B，算出这里每个元的值.例如，
a). 夏季所需的原材料（费用）总量为：
，
即A的第1行（相应于原材料）与B的第1列（夏季）对应位置元的的乘积之和。而冬季所需的劳动量（费用）为：

这是明细表中的元，即A的第2行（相应于劳动量）与B的第3列（冬季）对应位置元的的乘积之和。如果把由A和B结合起来产生的明细表矩阵称作是A和B的乘积（记为AB），那么可以算出

矩阵乘法的定义：设A和B分别为和矩阵，则A与B的乘积是一个矩阵，其中

记作：.

注：① 只有A的列数与B的行数相同时，AB才有意义；
②
C = A B

③乘积矩阵的行数=A的行数；乘积矩阵的列数=B的列数。
例：设, 求AB和BA.
运算法则：
1). (AB)C=A(BC);
2). A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;
3). k(AB) =(kA)B=A(kB)；
4). ;
5). 对于方阵A：。
注：一般地，。

例：设

求和.

5. 转置: 设，则A的转置矩阵为
。
例：设

求.

注：① A为对称矩阵，即; ② A为反对称矩阵，即;
运算法则：
1). ；
2). ;
3). ;
4). .
4) 的证明 设 。记，.
由 可得
，
而的第j行为，的第i列为。因此，
，.
所以，即.
注： .
例：设

求和.

6. 共轭矩阵：当为复矩阵时，用表示的共轭复数，则

称为A的共轭矩阵.

运算法则：
1). ；
2). ;
3). .

7. 方阵的迹：设是n阶方阵，矩阵的主对角线上的元素之和称为 的迹，记作

例：设

求和的迹.

运算法则：
1). ；
2). ;
3).