第三章 晶格振动与晶体热学性质.doc

第三章 晶格振动与晶体热学性质
习 题
1． 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为的一维简单晶格，频率为的格波，求
（1） 该波的总能量，
（2） 每个原子的时间平均总能量。
[解答]
（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。其中第n个原子的动能为

而该原子与第n+1个原子之间的势能为

若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为

将
代入上式得

设T 为原子振动周期，利用

可得
=AN+.
式中N为原子总数。
（2） 每个原子的时间平均总能量为

再利用色散关系
便得到每个原子的时间平均能量

2． 一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为和，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系.
[解答]

图3.2 一维双原子分子链

此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为，间距为b;一个分子内两原子力常数;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为.第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n和第n+1个原子受的力分别为
，
.
其运动方程分别为

设格波的解分别为

.
代入运动方程，得

.
整理得

由于A和B不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即
.
解上式可得

由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为
,
光学格波的色散关系为
.
3．由正负离子构成的一维原子链，离子间距为a,质量都为m,电荷交替变化，即第n个离子的电荷.原子间的互作用势是两种作用势之和，其一，近邻原子的短程作用,力系数为，其二,所有离子间的库仑作用.证明
（1） 库仑力对力常数的贡献为
2.
（2） 色散关系
,
其中
.
（3） 时,格波为软模。
[解答]
（1） 设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库仑力为
上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到, 可将上式展成级数,取一级近似得

第n个离子左端的第n-p个离子与第n个离子间的库仑力为

取一级近似得。
第 个离子和第个离子对第个离子间的库仑作用合力为

可见库仑力对常数的贡献为

（2） 第个离子的运动方程为

设格波解

,
则由离子的运动方程得

令，可得
当，有

记
则有

由此知，当时，由于格波的频率，因此 说明此振动模式对应的恢复力系数，相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性.所以称的振动模式为软模.
4.证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成弹性波方程

[解答]
根据《固体物理教程》(3.4)式,第 个原子的运动方程为

因为
所以第n个原子的运动方程化为
.
在长波近似下:
,
运动方程又化为

在长波近似下,当为有限整数时,

上式说明,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子以相同的振幅,相同的位相做集体运动,因此(1)式可统一写成
.
第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些原子的整体的运动所构成,这些原子偏离子平衡位置的位移,即是宏观上的质点位移u ,从宏观上看,原子的位置可视为准连续的,原子的分离可视为连续坐标x,即

于是
,
(2)式化成
,
其中,是用微观参数表示的弹性波的波速.
5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为,正负离子的质量分别为和,近邻两离子的互作用势为,
式中e为电子电荷,b和n为参量常数,求
(1) 参数b与e,n及的关系,
(2) 恢复力系数,
(3) 时的光学波的频率,
(4) 长声学波的速度,
假设光学支格波为一常数,且对光学支采用爱因斯坦近似,对声学波采用德拜近似，求晶格热容。
[解答]
(1) 若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势以取极小值,即要求 .
由此得到
.
(2) 恢复力系数
.
(3) 光学波频率的一般表达式[参见《固体物理教程》(3.21)式]
.
对于本题, ,,,.所以的光学波频率
.
(4) 由《固体物理教程》(3.25)式可知,长声学波的频率
.
对于本题。
长声学波的速度
。
(5) 按照爱因斯坦模型,光学波的热振动能
.
光学波对热容的贡献
,
其中 是爱因斯坦温度,其定义为
按照德拜模型，声学波的模式密度
.
电学波的热振动能.
其中,,
和分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率 可由下式

求得
.
声学波对热容的贡献
.

在高温情况下, ,上式化成

.
先求出高温时的,再求更容易.
在甚低温条件下, ,

[解答]
设原子的质量为,第个原子对平衡位置的位移为第和第个原子对平衡位置的位移分别为与(m=1,2,3…)，则第和第个原子对第个原子的作用力为
.
第个原子受力的总合为
.
因此第个原子的运动方程为.
将格波的试解
代入运动方程得

.
由此得格波的色散关系为
.
7．采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波,在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一支纵波），设波矢为q的第i支弹性波的波动方程为
u(r,t)=Acos(q•r-). (1)
任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即
u(r,t)=. (2)
原子位移平方的长时间平均值

.
由于的数目非常大,为（是原子总数）数量级，而且取正事负的几率相等，因此上式对()的求和项与对()的求和项相比是一小量，可以略去,于是得

由于为t的周期函数，其长时间平均值等于一个周期内的时间平均值，因此上式右边中的可用在一周期内的时间平均值代替，在绝对零度下，所有的热振动模式均未被激发，即只有零点振动,且一个频率为的零点振动的能量
.
弹性波动能的时间平均值为

.
式中是晶体质量密度, 是其体积,T为弹性波的振动周期.
由于动能与弹性势能的时间平均值相等，它们均为总能量的一半，所以有，
.
于是得到
.
位移的平方的时间平均值为

.
由以上两式得.
此为绝对零度下一个振动模动对原子位移均方值的贡献，将其代入（3）式得

.
把上述求和化为对的积分，得

.
再将德拜模式密度
代入上式得
.
若晶体共有N个原子,则上式的德拜频率
.
8．采用德拜模型，求出时原子的均方位移，并讨论高低温极限情况。
[解答]
在时，上题中的（3）式仍成立，即仍有

但频率为的格波能量为
.
而其动能平均值为
,
动能又可以表示为
.
由以上两式可得
.
频率为的格波所引起的原子的均方位移是
.
由于（1）与上题中（6）式相似，可得所有格波引起的原子的均方位移，

，
再令 ，
并利用 ，
，
得

。
式中为晶体的总质量
在高温情况下，，

。
可见，在高温下，原子的均方位移与温度T的一次方或正比.
在甚低温条件下, ,积分
是一常数，
于是
,
即在甚低温条件下，原子的均方位移与温度T的平方成正比.
9．求出一维简单格的模式密度.
{解答}
一维简单晶格的色散关系曲线如图 3．3所示,由色散曲线的对称性可以看出, 区间对应两个同样大小的波矢区间.区间对应有个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式,范围则包含

个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为 .

图 3.3一维简单晶格的色散关系
由色散关系得
.
得下式代入前式,得到模式密度
.

10.设三维晶格一支光学波在q=0附近,色散关系为,证明该长光学波的模式密度
.
[解答]
解答一:《固体物理教程》(3.117)式可知,第支格波的模式密度,
,
其中是第支格波的等频面,因为已知光学波在q=0附近的等频面是一球面,所以

.
解法二:
考虑q空间中的无穷小间隔dq, 与此对应的频率间隔为设分别表示单位频率间隔内和单位波矢间隔内的振动方式数,由这两种间隔内所含的振动方式数相等得
.
由《固体物理教程》(3.36)式知
,
及在q=0附近 .
由以上诸式得

.
11.设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10%的振动,推证,对于一维简单晶体,接近熔点时原子的振动频率
,
其中是原子质量.
[解答]
当质量的的原子以频率及等于原子间距的10%的振幅振动时,由本章率1题可知,其振动能为 .
在熔点时,原子的能量可按能量均分定理处理,即一个一维原子的平均能量为, 于是有
,
由此得 .
12.设一长度为的一维简单晶格,原子质量为m间距为,原子间的互作用势可表示成.试由简谐近似求
(1) 色散关系;
(2) 模式密度;
(3) 晶格热容(列出积分表达式).
[解答]
(1) 根据已知条件,可求得原子间的弹性恢复力系数
.
将上式代入《固体物理教程》一维简单晶格的(3.7)式,得到色散关系
,
其中 .
(2) 在本章第9题,我们曾求得一维简单晶格的模式密度,在此,再对这一问题进行求解,根据《固体物理教程》（3.7）式知,一维简单晶格简正振动格波的色散关系为
,
此式表明为q的偶函数,设分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔的振动方式数,考虑到振动方式总数为原子总数N可得
,
由为常数得

因此.
再由

得 ,
又
,
式中
.
由此得
.
(3) 频第为的格波的热振动能为
.
整个晶格的热振动能
.
则晶格的热容
.
13.对一维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限.
[解答]
按照德拜模型,格波的色散关系为.由图3.4色散曲线的对称性可以看出, 区间对应两个大小的波矢区间dq.区间对应有个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式,范围则包含

个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为
.

图3.4一维简单格子德拜模型色散关系
再利用
,
式中为原子总数, 为晶格常数,得
.
根椐《固体物理教程》（3.119）式得其热容量

.
作变量变换
,
得,
其中.
在高温时, 是小量,上式中被积函数

因此,晶格的高温热容量.
在甚低温时, .,是的被积函数按二项式定理展成级数
.
则积分
,
由此得到低温时晶格的热容量
.
14.对二维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限.
[解答]
德拜模型考虑的格波是弹性波,波速为的格波的色散关系是.在二维波矢空间内,格波的等频线是一个个圆周,如图3.5所示,在区间内波速为的格波数目
,
式中是二维晶格的总面积,由此可得波速为的格波的模式密度
.

图 3.5二维波矢空间
考虑到二维介质有两支格波,一支纵波,一支横波,所以,格波总的模式密度
,
式中
,
其中是纵波速度, 是横波速度,格波的振动能
.
晶格的热容量
.
积分上限由下式

求出,由此得到
,
式中为原子个数,作变量变换
,
晶格热容量 ,
其中 .
当温度较高时, ,
.
可见德拜模型的高温热容与经典理论是一致的.
当温度甚低时, .积分
,
则有 ,
式中 .
由此可见,在甚低温下,二维晶格的热容量与温度的平方成正比,
15.试用德拜模型,求时,晶格的零点振动能.
[解答]
频率为的零点振动能为, 因此 晶格总的零点振动能为
.
根据德拜模型,对三维晶体有,
,
因此
.
再利用 ,
,
又可得 .
16.对三维晶体,利用德拜模型,求
(1) 高温时范围内的声子总数,并证明晶格热振动能与声子总数成正比.
(2) 甚低温时范围内的声子总数,并证明晶格热容与声子总数成正比.
[解答]
(1) 频率为的格波的声子数
.
高温时 ,
于是 .
声子总数为 .
对于德拜模型,模式密度
.
则高温时声子总数 .
可见,在高温时,声子总数与温度成正比.
高温时,晶格的热振动能
.
上式说明,在高温时,热振动能与温度也成正比,因此在高温时晶格的热振动能与声子总数成正比.
(2) 声子总数
.
取变量变换 ,
则在甚低温下
,
其中

.
由德拜定律可知,在甚低温下固体比热与温度成正比,由此得到，在甚低温下固体比热与声子总数成正比.

17.按德拜近似,证明高温时的晶格热容
.
[解答]
由《固体物理教程》式(3.132)可知
.
在高温时, ,则在整个积分范围内x为小量,因此可将上式中被积函数化简为.
将上式代入的表示式,得

.
将
代入上式得.
18.晶体的自由能可写成,
若,求证
,
式中为格林爱森常数
[解答]
根据 ,
得

.
式中为格林爱森常数,再由
,
,
得
.
将此结果代入P的表示式,便得
.
19.证明 ,
式中为格林爱森常数.
[解答]
由格林爱森常数的定义式
,
得 .
对确定的晶体, 可视为常量,因此上式直接积分得
,
由此得 ,
.
再利用德拜温度的定义式
,
得 .
上式表明 .
20.证明 ,
其中P为压强, 为体膨胀系数.
[解答]
由上题结果
可得 ,
,
式中为体积弹性模量[参见《固体物理教程》(2.11)]再利用(3.158)式 ,
得 .
因此 .
21.设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能
,
b为待定常数,平衡间距,求线膨胀系数.
[解答]
根据《固体物理教程》（3.148）式,线膨胀系数可近似表示为
.
式中 ,.
由平衡条件 ,
得 .
于是 ,
.
将以上结果及下列数据:
,
CGSE,
=1.381*10erg/K
代入的表示式,得

.
22.证明晶体自由能的经典极限为
.
[解答]
根据《固体物理教程》式(3.153),晶体自由能为
.
.
在经典极限时, ,因而有
,
.
将此两式代入F的表示式,便得
.
23.按照爱因斯坦模型,求出单原子晶体的熵,并求出高低温极限情况下的表达式.
[解答]
由 《固体物理教程》式(3.153)可知,晶体自由能为
.
利用熵与自由能F的关系 ,
可得 .
设单原子晶体有N个原子,按照爱因斯坦模型,有
,
于是 .
再引入爱因斯坦特征温度,即
,
并作变量变换
,
则进一步得到

在高温时, ,,,可得
.
甚低温是, ,,,可得
.
从高低温极限可以看出,温度越低晶格系统的熵越小,当温度趋于时,晶格系统的熵趋于0.这些结论与经典理论一致.

其中
是一常数，晶格的热容.

20