2023年学而思小升初培优四数论篇学生版.doc

小升初培优（四）： 数论篇 课前热身：1 有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它自身。 2假如在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是本来的数的9倍，问这个两位数是。 3 +=。 4甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。5，下列数不是八进制数的是( )A、125 B、126 C、127 D、128 基本公式1）已知b|c,a|c,则a,b|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。讲解练习：若3a75b能被72整除，问a=,b=.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 p2.pk（#)其中p1p2.pk为质数，a1,a2,.ak为自然数，并且这种表达是唯一的。该式称为n的质因子分解式。讲解练习：连续3的自然树的积为210，求这三个数为.4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)所有约数和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）讲解练习：1996不同的质因数有个，它们的和是。（1996年小学数学奥林匹克预赛）5) 用a,b表达a和b的最小公倍数，(a,b)表达a和b的最大公约数，那么有ab=a,b(a,b)。讲解练习：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为。（迎春杯刊赛第10题）6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。讲解练习：3aa1能被9整除，问a=.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）7）平方数的总结： 1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 讲解练习：8-7+6-5+4-3+2-1=。2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 讲解练习：1100中约数个数为奇数个的所有数和为。3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 讲解练习：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是。8）十进制自然数表达法，十进制和二进制，八进制，五进制等的互相转化。9）周期性数字：abab=ab101讲解练习：202320232023-202320232023=。、典型例题解析1 数的整除【例1】（）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4321=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。【例2】（）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？【例3】（）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例4】（）一个学校参与爱好活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？ 2 质数与合数（分解质因数） 【例5】（）2023684375最后4位都是0,请问里最小是几?拓展：2023684375最后4位都是0，且是7的倍数，问里最小是_【例6】（）03 年101中学招生人数是一个平方数，2023由于信息发布及时，2023的招生人数比2023多了101人，也是一个平方数，问2023的招生人数？3 约数和倍数【例7】（）从一张长2023毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽也许大的正方形，假如剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽也许大的正方形。按照上面的过程不断的反复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【例8】（）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？【例9】（）1、2、3、42023这2023个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？ 【例10】（）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）假如告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）4 数论的综合题型【例11】（）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【例12】（）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）假如告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）作业题 1（）在1100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？2（）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得8089分的人数占，得7079分得人数占，那么得70分以下的有_人。3（）自然数N是一个两位数，它是一个质数，并且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_个。4. （）三个自然数，其中每一个数都不能被此外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？5、（）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？6、（）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？7、（）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_8、（）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是 、 、