2023年学而思小升初培优四数论篇学生版.doc

小升初培优（四）： 数论篇
课前热身：
1 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它自身。

2假如在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是本来的数的9倍，问这个两位数
是＿＿。

3 ++=＿＿。

4甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

5，下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128

基本公式

1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）

2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1× p2×...×pk（#)
其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表达是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.

4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹克预赛）

5) 用[a,b]表达a和b的最小公倍数，(a,b)表达a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春杯刊赛第10题）

6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）

7）平方数的总结：

1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿。

2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。

3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。

8）十进制自然数表达法，十进制和二进制，八进制，五进制等的互相转化。

9）周期性数字：abab=ab×101
[讲解练习]：2023×20232023-2023×20232023=＿＿。

、典型例题解析
1 数的整除

【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。

【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？

【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【例4】（★★）一个学校参与爱好活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？

2 质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★）2023×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

[拓展]：2023×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____

【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，2023由于信息发布及时，2023的招生人数比2023多了101人，也是一个平方数，问2023的招生人数？

3 约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长2023毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽也许大的正方形，假如剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽也许大的正方形。按照上面的过程不断的反复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

【例9】（★★★）1、2、3、4…2023这2023个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？

【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）假如告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

4 数论的综合题型

【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？

【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）假如告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）

作业题

1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有________人。

3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，并且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被此外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？

6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．

8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 、 、 ．