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比值法与非常规解题
广州 杜厚生
2000年5月
课堂教学是素质教育的主渠道,素质教育的关键是优化课堂教学过程,引导学生积极主动地参与学习过程,学会学习、乐于学习，真正成为学习的主体。在数学课堂教学中，解题教学是最主要、最大量的教学内容。思维活动在解题过程中充分体现，并得到充分发展。学生应该在解题教学中，学会思维、学会创造。
本世纪最伟大的数学教育思想家波利亚说：“我们并不要求每一个教师和学生都能从事高深的研究工作，不过，数学问题非常规解题也是真正的创造性工作。我们需要掌握的不是单靠记忆得到的知识，而是在解决有趣问题中掌握的、随时可用的真正知识。”这就是说，在解题教学中，可以用非常规解题来激发学生的创造性，提高学生学习的积极性与主动性。在初中平面几何的解题教学中，善用比值法，就能实现一些几何问题的非常规解题，有效地提高学生的解题能力。

一. 含30°、45°角的直角三角形非常规解题
1． 学完“解直角三角形”后，解这样的一道题：
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若BC=50，求斜边AB的长。
A
C 30° B 50
大部分学生会设AB=x，则AC=，于是，
列出方程：。
解得AB=。
不用勾股定理试试看。学生想了一下，
“如果设AB为x，则COS30°=这个方法比用勾股定理好，因为不必解一元二次方程了。”再问学生：“你能不能一下子看出AB=来？”“不能，因为数太大了，换个小一点的数，比如BC=3，我想可以用心算求出AB=2来”。
在这里，勾股定理和三角函数都是课本要求的常规解法。而运用比值法则可以得到非常简捷的非常规解法。于是我和学生一起来寻找比例。这其实很容易，从小到大，三边的比值是1：：2，若已知短直边是a时，有 a：a：2a。于是，只要知道短直边a，其余二边应该是a和2a；知道斜边是a呢？其余二边是和。为了能熟练掌握这种方法，只需做十分钟练习：知短求长时，乘以倍数（和2）；知长求短时，除以倍数（和2）。同类的问题，要“一下子看出来”，象呼吸一样轻松自然。于是我们把这叫做“呼出”结果，召之即来，张口就有。(如下图)
2 1 2a a a 1000 500 a a 500 50

当然，等腰直角三角形也一样，乘以倍数或除以倍数，更简单！(下图)

1 a a a 1 2
1 a

②这种“呼出”有多大用处呢？我们且来试试：
例1.如图，已知DC=3，求各线段的长。
解:
A A 6 6 3
30° 60° 30° 60
B C 3 D B 6 C 3 D
BBBB 3 6 3

3 6 3

全部呼出!
例2.如图，已知BD=50，求线段AC的长
解: 设AC=x，则DC=x，BC=x，
BC=X
A
B
D
C
50
30°
45°
x
x
于是 50+x=x，x=50÷(–1)=25(+1)
这比用三角函数来求显然要好些。

A 2 1 15° B 2 D C
例3.如图，已知BC=3+，求线段AB、AC的长
A
BD=X
B
D
30°
45°
C
x
解:设AD=DC=x，则BD=x ， 得x+x =3+
∴x=
∴AB=2x=2 ，AC=x =

例4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°
求:tg15°的值
解:作AD，使∠ADC=30°，设AC=1，则AD=BD=2，
DC= ∴BC=2+ ∴tg15°==2-

③还能推广吗?其他的特殊直角三角形看来也可以。例如勾股数三角形也有比
值，3:4:5; 5:12:13; 7:24:25，等等。
④任意直角三角形呢？不是也有比值吗？试一试看：
A A 1 sinB(cosA) a asinB(acosA) B C B C cosB(sinA) acosB(asinA)
设斜边为1，有： 斜边为a，有：

A A 1 a B ctgB（tgA） C B actgB（atgA）C
设直边为1，有： 直边为a，有：

例5. 利用上面的图形，由勾股定理，可证明sin2A+cos2A=1 (平方关系)
由正切定义，可证明tgA= (比值关系)
由A+B=90°，得sinA=cosB，tgA=ctgB(互余关系)

例6.如图，Rt△ABC中，∠D=90°，∠B=α，∠ACD=β，BC=m，求AD。（这是例6的推广）
A x α β B m C xctgβ D xctgα
解:设AD=x，则CD=xctgβ，BD=xctgα
∴m+xctgβ=xctgα
∴x=
即AD==

在中学数学教材中，含30°、45°角的题目如此之多，“呼出”令我们又快又准又轻松。
二.弧长与扇形面积的非常规解题
老师问学生：“弧长公式是什么？”,“就是。”
“怎么得到的？”
“因为360°的圆心角所对的弧就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长就是。于是n°的圆心角所对的弧长是。”
老师问学生：“扇形面积公式是什么？”“有两个。S扇 =和S扇 =LR，后一个公式在已知弧长和半径时使用。”
有了这两组公式，学生在知道圆心角和半径时，求弧长和扇形面积没有困难。“不过，很枯燥，一点趣味也没有。”学生说。“而且，恐怕很快就会忘了。”
于是老师又问：“你能不能用别的方法导出这个结果？”学生说:“这怎么可能？曲线形的计算，除了圆周长和圆面积公式，我们没有任何其他方法。能这样导出公式，我觉得已经很巧妙了。”
老师说：“如果知道了一个圆的周长为16π，扇形所对的弧长为2π，你能一下子说出扇形的圆心角度数和扇形的面积吗?能呼出吗?” 这有点难，于是，老师和学生一起“回到定义去。”好了，定义其实是用比值来得到公式的。又是比值！这就是说，在一个扇形中，圆心角n是部份，周角是全体；弧长是部份，周长是全体；扇形面积是部份，圆面积是全体。如果设=k，那么，在求n、l、s这些“部份” 时，有部份=k·全体。这个k容易呼出，而这个“全体”也是非常熟悉的。于是，上面的题目果然是可以呼出的：弧长是2π，圆周长是16π，那么k=，圆心角是=45(度)，扇形面积要先求圆面积，周长是16π，半径为8，所以圆面积是64π，扇形面积是×64π=8π。只要再熟练一些，就更容易呼出了。老师又和学生一起做了10分钟练习：
角度n
比值k
n：360
半径r
弧长l
k﹒2rπ
扇形面积s
k﹒r2π
30°

R

36°

R

45°

R

60°

R

72°

R

90°

R

120°

R

135°

R

144°

R

150°

R

② “现在有趣一些了。而且，我们不必依赖公式，只要一想起部份和全体的关系，什么时候都会计算。”学生说。老师说：“其实，公式也在这些比值之中。”
学生说：“这容易看出：
也就是s=lr。实际计算时，用n=k×360，l=k×2πr，s=k×πr2，显然又快又准。”

③老师说：“你能不能把这结果应用于其他问题？”学生再一次看着扇形：“这里还有一条弦AB，它应当是圆内接正多边形的一部分。还有弓形，它是圆减去正多边形剩下的面积的一部分。还有 △ABC的面积，它是圆内接正多边形面积的一部分，它们的比值也都等于k。”
“如果作同心圆，能得到一个圆环，那么阴影部分的面积与圆环的面积之比也是k。”
Ａ Ｂ 阴影面积　　　 弦长、弓形面积 也是圆环的 三角形面积都是 一部分。 全体的一部分。

书上有一道习题(几何第三册187页11题)，我们尝试用这个结果计算。
例7.已知两个同心圆被两个半径截得的=10πcm，=6πcm，又AC=12cm，求阴影部分的面积。 A 12 C
O D B

解：设两圆半径分别为R、r，z则有：
解得r=18，R=30 ∵k==
∴（cm）
这时，一个学生说：“这个图形有点像梯形，知道上底、下底以及高，如果用，结果完全一样！”学生们十分高兴，这样多简单！“会不会是巧合？”老师不相信。学生说：“我们大概能够证明它。”学生的证明如下：
证明：设，那么：

确实有S=（R-r），就象梯形面积公式！
④弧长与扇形面积可以呼出，那么弓形的面积也可以呼出吗?结合等腰直角三角形面积=a2，等边三角形的面积=，至少含60°、90°、120°弧的弓形面积也是可以呼出的。只要分别呼出扇形面积和三角形的面积。（在120°的弓形中，△AOB面积用等边△OBC面积代替。）

C A B R R
R O

60°弓形的面积是 90°弓形的面积是 120°弓形的面积是 S= S= S=

而在各种弓形面积计算、组合图形(阴影部分)面积计算中，这几种弓形面积出现率
极高。
比值的内涵博大精深，而比值的方法简约和谐，善用比值，得到的结果往往是最直观、最实用的。中学数学教材中，能够使我们发挥创造性的方法和素材，又何止是比值法?只要留心，几乎处处都能找到素材，产生触发我们创造性的灵感。实现数学问题的非常规求解。

三．对非常规解题的理解
1．什么是数学问题的非常规求解？似乎老师们都觉得是不言自明的，但又说不出它的定义，也没有在什么书上看到过对这个问题的完整论述（包括教学大纲、教参、杂志论文、有关教学法的论著等）。我个人的理解，这是因为非常规解题具有相对性。常规解题方法的来源有三个：一是教材指定必须掌握的方法，如勾股定理、一元二次方程的配方法、十字相乘法等；二是解某类问题的“通法”，如求根公式等。三是出于逻辑性、严密性、精确性而产生的解题方法。中学的代数、几何教材中，几乎每一个单元的学习过程中，都有教材给出的该单元的解题方法，并要求学生必须掌握。这些解题方法，就形成了所谓的常规解题方法。而异于教材要求的解题方法，也就可以称为“非常规解题方法”。应当看到，“常规”与“非常规”是可以互相转化的。“非常规”其实来源于“常规”。例如高斯的传说中，从1到100的和，高斯用了等差数列求和的方法，这对小学生来说是“非常规”的，而在数列一章的学习中，则是标准的常规。又如“数形结合”的解题方法，在一些函数问题、复数问题中，是非常规的，而在解析几何中，却是最典型的常规。再如上文提到的含特殊角的直角三角形用比值法求边长的方法，一旦在教学中要求学生重视和掌握，也就变成了常规的解题方法，甚至是第一常规。可能正是因为常规解题与非常规解题之间没有严格的界限，所以非常规解题也就难以严格定义了。也许可以这样理解：凡是教材没有做出要求并且老师同学通常都没有想到的简捷方法就是非常规解题方法。这里强调了“简捷”，没有了简捷，恐怕大家都很难承认是“非常规解题”。
非常规解题的实质是解题的优化。高斯说：“去寻求一种最美的和最简捷的证明，乃是吸引我去研究它的主要动力。”简单性是数学美的重要标志，简单指用简捷的公式概括众多的事实。欧几里德的《几何原本》从36个定义和19个公理出发，得出了467个命题，就完成了一门学科的创立。在整整100年前，19世纪最伟大的数学家希尔伯特在巴黎第二次国际数学家大会发表了划时代的论文《数学问题》，论文的主体部分提出了23个数学问题，不到500字。克莱因说：“用新方法来解决老问题，可以推动数学的发展。”非常规解题其实就是解决老问题的新方法。
2．非常规解题的教学，教师首先要通过自己这一关。数学教师的创新与求简精神是学生的表率。有些教师过于强调书本方法的熟练与掌握，不仅自己没有去想非常规解题，甚至也不许学生运用。不少学生谈到在一些重大考试中，有些题目很难，虽然想到了一些解法，甚至也得到了正确的解，但所用的方法与书本上的不一样，于是就不敢写出来。有些写出来了，但某些评卷老师却不给分。在教学中，有些老师给学生分析题目用到了非常规解题方法，学生往往要问：这样做考试中给不给分？因为教材上不是这样做的！有些老师讲三角函数时，教学生用单位圆来研究三角函数的性质（包括三角函数的求值、三角方程的解集、三角函数的符号、周期性、定义域、值域等），但就受到其他老师的非议，认为干扰了正常教学，对学生掌握教材知识不利，不符合教材要求等。很难想象，一位自己墨守成规、不敢越教材一步，不去探讨一题多解和非常规解题的教师，能教出有创造性的学生。学生的创造性来自教师的示范和鼓励，非常规解题能力的培养关键在于教师。
4．学生非常规解题能力的形成。应当看到，常规是基础，是前提，非常规是提高，是突破；常规是一般性，非常规是特殊性。只有熟练地掌握了各种常规解题方法，才能经过综合、比较、概括，得到非常规解题方法。非常规解题的实质是优化解题，而优化的确认是在比较中成立的。一道题目只有一种解法，就无所谓优化，有四、五种解法才能比较出最优的一种。非常规解题对学生来说是一种高要求，同时也是一种思想方法，但学生有时也过不了自己这一关。如这样一道选择题：

已知Rt△ABC中，tgA=，则sinA=（ ）。
A．； B．； C．； D．
如果这样考虑：∵ tgA= ∴A比较接近90°，则sinA比较接近1且小于1，故应选C，即sinA=。
这种分析，80%以上的学生往往不能接受。他们的理由是不严密、不通用，如果不是选择题就用不上，他们宁可按照定义一步步计算，而且大多数还用到勾股定理。但如果这样分析：根据勾股数（7，24，25），故斜边为25，对边为24，所以sinA=，则所有的学生都点头称是，认为比勾股定理计算好，也很满意它的严密性与通用性。由此可见，长期传统教学模式形成的思维定势和常规解题模式的固化，是非常规解题教学的两大障碍。去掉这两重障碍，在平时的解题中，重视解题后的回顾，才能形成非常规解题的能力。波利亚在《解题表》中提出：“你能检验这个结果吗？你能一下子看出它吗？你能将这个结果或方法予以推广并应用于其他问题吗？”这就是解题回顾。学生能常常这样问自己并尝试着这样做，就能培养出自己的非常规解题能力，从而也就培养了自己的创造性和发现的欲望。
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