微分几何习题全解(梅向明高教版第四版).doc

微分几何主要习题解答
第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数具有固定方向的充要条件是 × = 。
分析：一个向量函数一般可以写成=的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。
证 对于向量函数，设为其单位向量，则=，若具有固定方向，则为常向量，那么=，所以 ×=（×）=。
反之，若×= ，对= 求微商得=+，于是×=（×）=，则有 = 0 或×= 。当= 0时，=可与任意方向平行；当0时，有×=，而（×=-(·＝，（因为具有固定长， ·= 0） ，所以 =，即为常向量。所以，具有固定方向。
6．向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0 。
分析：向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量，使· = 0 ，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。
证 若平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且· = 0 。两次求微商得· = 0 ，· = 0 ，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。
反之, 若（）=0，则有×= 或×。若×=，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，则存在数量函数、，使= + ①
令=×，则，且⊥。对=×求微商并将①式代入得=×=（×）=，于是×=，由上题知有固定方向，而⊥，即平行于固定平面。

§3 曲线的概念
1． 求圆柱螺线=，=，=在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令=1,=0, =0得=0, (0)={ -,,1}| ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 ，法平面为 y + z = 0 。
2． 求三次曲线在点的切线和法平面。
解 ，切线为，
法平面为 。
3. 证明圆柱螺线={ a ,a,} ()的切线和z轴作固定角。
证明 = {-a ,a,},设切线与z轴夹角为,则 =为常数，故为定角（其中为z轴的单位向量）。
4. 求悬链线={，}（-）从=0起计算的弧长。
解　=　{1，}，| |　= = ，　ｓ＝　。
９．求曲线在平面　与y = 9a之间的弧长。
解　曲线的向量表示为＝，曲面与两平面　与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , ＝，｜｜＝＝，所求弧长为　。
10. 将圆柱螺线={a，a，b}化为自然参数表示。
解 = { -a,a,b}，s = ，所以，
代入原方程得 ={a, a, }
11.求用极坐标方程给出的曲线的弧长表达式。
解 由，知={-，+}，|| = ，从到的曲线的弧长是s= 。

§4 空间曲线
1．求圆柱螺线=a，=a，= b在任意点的密切平面的方程。
解 ={ -a,a,b},={-a,- a,0 }
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
= 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 .

2. 求曲线 = { t,t,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , (0)={ +t,- t,+t={0,1,1}，
{2+ t,- t,2+t ={2,0,2} ，
所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；
密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是 即 ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。

3．证明圆柱螺线=a，=a，= b的主法线和z轴垂直相交。
证 ={ -a,a,b}, ={-a,- a,0 } ，由⊥知为主法线的方向向量，而 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 = {-cossint, coscost, sin } , ={ -coscost,- cossint , 0 }
{sinsint ,- sincost , cos }
新曲线的方程为={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos }
对于新曲线={-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t), cos(-t), sin} , ={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是

即 sin sin(t-) x –sin cos(t-) y + z – tsin – cos = 0 .

5． 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：
设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径具有固定长，所以·= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则·= 0，具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
是球面曲线存在定点（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 ，即 （﹡）
而过曲线上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面中心（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

6.证明过原点平行于圆柱螺线={a，a，b}的副法线的直线轨迹是锥面.
证 ={ -a,a, }, ={-a,- a,0 } ，×=为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是 ，消去参数t得。

7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ ,
⑵ 。
解 ⑴，，，，所以
。
⑵ ，，
×= ，
。

8．已知曲线，⑴求基本向量；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ ，
（设sintcost>0）， 则，
， ，
，
⑵ ， ，由于与方向相反，所以
⑶ 显然以上所得 满足 ，而
也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证　方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，可见∥，所以具有固定方向，故＝是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，于是＝，从而×＝，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为，曲线的方程为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过定点，所以，两端求导得:
, 即 ，而无关，所以，
可知，因此曲线是直线。

10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证　方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的密切平面的方程是，由条件，即（）=0，所以平行于一固定平面，即＝是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的密切平面方程是，由条件，两边微分并用伏雷内公式得 。若,又由可知∥,所以＝平行于固定方向，这时＝表示直线,结论成立。否则，从而知曲线是平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的密切平面方程是，由条件，即（）=0，所以，，共面，若∥，则＝是直线，否则可设，所以共面，所以，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知，若是常向量，则k==0 ，这时曲线是直线。否则在两边微分得·=０，即 k·=０,所以·=０，又因，所以∥，而为单位向量，所以可知为常向量，于是，即，此曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为＝，由条件·＝０，两边微分得·＝０，·＝０，所以， ，共面，所以（）＝０。由挠率的计算公式可知，故曲线为平面曲线。当×＝时是直线。
方法三：曲线的方程设为＝，由条件·＝０，两边积分得（是常数）。因是平面的方程，说明曲线＝在平面上，即曲线是平面曲线，当有固定方向时为直线。

12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C）：＝的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（）的方程为： ，（为曲线（C）的主法向量），对于曲线（）两边微分得 ，（，，分别为曲线（C）的单位切向量，副法向量和挠率），，，，曲线（）的曲率为 为常数。
13.证明曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。
证 ={3+4t, -２+10t,-2t}， ={4，10，-２}， ＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面。对于ｔ=０, =｛１,２,１｝，={3, -２,０}， ={4，10，-２}， ＝｛０，0，0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是　，即2x+3y+19z –27＝０．

　　14．设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=, 两端对s求微商得, 即 ，(这里k0，若k==0，则无定义)，所以∥，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
15．设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设,分别为曲线Γ、的切向量,, 分别为曲线Γ、的主法向量,则由已知．．．．．①　，而＝　　　将①式代入　。所以·＝常数，故量曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为。求证k=(+) ,其中为常数。
证 设Γ的向量表示为=，则可表示为=+， 的切向量=++（－k+）与垂直，即·＝＝０，所以为常数，设为，则＝（１－k）+。再求微商有＝－k＋（１－k）k＋－，·＝（１－k）k－＝０，所以有k=(+)。
17．曲线={a(t-sint),a(1-cost),4acos}在那点的曲率半径最大。
解 = a{1-cost,sint,-2sin} , = a{sint,cost,-cos}, ,
×=,
|×|= , , ,所以在t=(2k+1)，k为整数处曲率半径最大。
18． 已知曲线上一点的邻近一点，求点到点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点的曲率、挠率分别为）。
解 －＝＝＋，设，其中　。则－
＝
上式中的三个系数的绝对值分别是点到的法平面、从切平面、密切平面的距离。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量是常向量.即=。曲线的挠率的绝对值等于||为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设是固定直线一向量，则·=0 ，积分得·= ,说明曲线在以为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设是固定直线一向量，则·=0 ，再微分得·=0 ，·=0 。所以 、 、三向量共面，于是（）= 0 ，由挠率的计算公式知=0，因此曲线为平面曲线。
7． 如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ：＝，则另一曲线的表达式为： ，为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。
＝＋－与正交，即·＝０，于是＝０，为常数。＝－，＝k－－（－k＋）也与正交，即·＝-=0,而０,所以有＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线。
8. 如果曲线Γ：＝为一般螺线, 、为Γ的切向量和主法向量，R为Γ的曲率半径。证明：=R－也是一般螺线。
证　因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量使与成固定角,对于曲线,其切向量=与共线,因此也与非零常向量成固定角, 所以也为一般螺线。
9．证明曲线＝为一般螺线的充要条件为
证　，
＝，其中k0.
曲线＝为一般螺线的充要条件为 为常数,即=0,也就是 。
方法二： ，即。曲线＝为一般螺线，则存在常向量，使·=常数，所以所以共面，从而（）=0。反之，若（）=0，则平行于固定平面，设固定平面的法矢为，则有，从而·= p (常数)，所以＝为一般螺线。
方法三：曲线＝为一般螺线存在常向量使，即平行于固定平面（以为法向量的平面）平行于一固定平面 。
方法四：设＝为一般螺线，存在常向量使=常数，即常数，连续三次求微商得， ，所以。
因为，所以平行于固定平面，设固定平面的法矢为（常向量），则，而，所以曲线为一般螺线。
10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
证 设曲线Γ与在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：＝ ，则：，０，其切向量为＝＋＋k应与平行，所以k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

11．设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则也为一般螺线。
证 设曲线Γ：=与：点建立了一一对应，使它们对应点的切线平行，则适当选择参数可使=, 两端对s求微商得, 即 ，这里，所以有=，即主法线平行，从而=，即两曲线的副法线也平行。且 或。=两边对s求微商得，于是 或，所以， 或。

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