福建省厦门市高三数学10月试题-理-新人教版.doc

厦门六中2012—2013学年上学期高三(理)数学月考试卷（01）
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. 已知集合A={（x,y）|x,y为实数，且x2+y2=1},B={（x,y）|x,y为实数，且x+y=1}，则
A∩B的元素个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知sin＝，则sin 2x的值为 (　 　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
i=1
WHILE i<8
i=i+2
s=2※i+3
WEND
PRINT s
END
(第12题)
3. 函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间是(　　)
(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (2,3) (D) (3,4)
4. 函数的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,-1] B.［2,+∞) C.[ ,2] D.[-1, ]
5. 上右程序运行后输出的结果为 ( )
A.17 B.19 C.21 D.23
6. 已知的实根个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个
7. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是 (　　)
A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1
8. 直线与抛物线所围成的图形面积是（ ）
A. 20 B． C． D．
9. 若曲线，则（　　）
A、　　B、　　C、　　D、
10. 设函数f(x)＝－x2＋4x在[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围所组成的集合为 (　　) A．[1,7] B．[－1,1] C．[1,5] D． [0,6]
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分
11. =________
12. 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，在(0,5)上是减函数，又f(－3)＝0，则
不等式 xf(x)＜0的解集是______________．
13. =
14. 在△ABC中，已知∠B=45°，,则∠A= 75°或15
15. 关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题：
①y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；②y=f(x)可改写为y=4cos(2x-);③y=f(x)的
图象关于（-,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.其中正确的序号为 .
三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）
16. （本小题满分13分）已知sin 2α＝，α∈. (1)求cos α的值．
(2)求满足sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cos α＝－的锐角x.

17．（本小题满分13分）设函数f(x)＝x＋－6(x>0)和g(x)＝－x2＋ax＋m(a，m均为实数)，且对于任意的实数x，都有g(x)＝g(4－x)成立．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)＝x＋－6(x>0)的最值；(3)令F(x)＝f(x)－g(x)，讨论实数m取何值时，函数F(x)在(0，＋∞)内有一个零点；两个零点；没有零点．

18. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

19. （本小题满分13分） 已知函数． (Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．

20.（本小题满分14分）设函数.(1)令，判断并证明N（x)在（-1，+∞)上的单调性，并求N（0）；（2）求f(x)在其定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m,n满足0≤m<n，使得f(x)在区间［m,n］上的值域也为［m,n］?

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
（1）（本小题满分7分）:矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为1.
（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；（Ⅱ）设，求.

（2）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被
曲线截得的弦长.

（3）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围．

厦门六中2012—2013学年上学期高三(理)数学月考试卷（01）
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. 已知集合A={（x,y）|x,y为实数，且x2+y2=1},B={（x,y）|x,y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为 ( C ) A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知sin＝，则sin 2x的值为 (　D　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
i=1
WHILE i<8
i=i+2
s=2※i+3
WEND
PRINT s
END
(第12题)
3. 函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间是(　D　)
(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (2,3) (D) (3,4)
4. 函数的单调递增区间是 ( C )
A.(-∞,-1] B.［2,+∞) C.[ ,2] D.[-1, ]
5. 上右程序运行后输出的结果为 ( C )
A.17 B.19 C.21 D.23
6. 已知的实根个数是（B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个
7. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是 (　C　)
A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1
8. 直线与抛物线所围成的图形面积是（ C ）
A. 20 B． C． D．
9. 若曲线，则（ D　）
A、　　B、　　C、　　D、
10. 设函数f(x)＝－x2＋4x在[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围所组成的集合为 ( A) A．[1,7] B．[－1,1] C．[1,5] D． [0,6]
解析：由－x2＋4x＝4得x＝2，由－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，结合二次函数的图象知－1≤m≤2,2≤n≤5，故－1＋2≤m＋n≤2＋5，即1≤m＋n≤7.答案：D
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分
11. =__1032
12. 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，在(0,5)上是减函数，又f(－3)＝0，则 不等式
xf(x)＜0的解集是______________．(-5，-3] (3, 5]
13. =
14. 在△ABC中，已知∠B=45°，,则∠A= 75°或15
15. 关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题：
①y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；②y=f(x)可改写为y=4cos(2x-);③y=f(x)的

图象关于（-,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.其中正确的序号为 ② ③.
三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤）
16. （本小题满分13分）已知sin 2α＝，α∈. (1)求cos α的值．
(2)求满足sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cos α＝－的锐角x.
解：(1)因为π＜α＜π，所以π＜2α＜3π，所以cos 2α＝－＝－.
又因为cos 2α＝2cos2α－1，所以cos α＝－.
(2)因为sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cos α＝－，
所以2cos α·(1－sin x)＝－ ，所以sin x＝. 因为x为锐角，所以x＝.
17. （本小题满分13分）设函数f(x)＝x＋－6(x>0)和g(x)＝－x2＋ax＋m(a，m均为实数)，且对于任意的实数x，都有g(x)＝g(4－x)成立．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)＝x＋－6(x>0)的最值；(3)令F(x)＝f(x)－g(x)，讨论实数m取何值时，函数F(x)在(0，＋∞)内有一个零点；两个零点；没有零点．
解：(1)∵对于任意的实数x，都有g(x)＝g(4－x)成立，
∴函数g(x)的图象关于直线x＝2对称， 则＝2，即a＝4.
(2)∵x>0，∴f(x)＝x＋－6＝()2－2·＋()2－2＝(－)2－2≥－2.
故当x＝2时，f(x)的最小值为－2，没有最大值．
(3)∵a＝4，∴g(x)＝－x2＋4x＋m＝－(x－2)2＋m＋4.
∴当x＝2时，g(x)取最大值m＋4.
令F(x)＝0，得方程f(x)＝g(x)，在同一坐标系中画出y＝f(x)
和y＝g(x)的图象，如图，当m＋4＝－2，即m＝－6时，
函数y＝F(x)在(0，＋∞)内有一个零点；
当m>－6时，函数y＝F(x)在(0，＋∞)内有两个零点；
当m<－6时，函数y＝F(x)在(0，＋∞)内没有零点．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
（2）解：设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°,PA=AB=2，所以BO=1，
AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,则

所以.设PB与

AC所成角为θ,则.
（3)解：由（2）知，设,则.
设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则,所以
令,则.所以.同理，平面PDC的法向量.
因为平面PBC⊥PDC，所以m·n=0,即,解得,所以.
19. 已知函数． (Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
解：(Ⅰ) 3分
∴ 的最小值为，最小正周期为. ………5分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 共线，∴ ．由正弦定理 ，得 ①9分
∵ ，由余弦定理，得， 解方程组①②，得．
20. 设函数.(1)令，判断并证明N（x)
在（-1，+∞)上的单调性，并求N（0）；（2）求f(x)在其定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m,n满足0≤m<n，使得f(x)在区间［m,n］上的值域也为［m,n］?
解(1)当x>-1时，,所以N(x)在（-1，+∞)上单调递增，N（0）=0.
(2)f(x)的定义域是（-1，+∞),当-1<x<0时，
N（x)<0,所以f′(x)<0;当x>0时，N（x)>0,所以f′(x)>0,
所以f(x)在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞)上单调递增，所以=f(0)=0.
(3)由（2）知f(x)在［0，+∞)上是单调递增函数，若存在m,n满足条件，则必有f(m)=m,f(n)=n,
也即方程f(x)=x在［0，+∞)上有两个不等的实根m,n,
但方程f(x)=x,即只有一个实根x=0,所以不存在满足条件的实数m,n.

21. （1）（本小题满分7分）:矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为1.
（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；（Ⅱ）设，求.
解：（Ⅰ）矩阵的特征多项式，…1分
又矩阵的一个特征值为1，，， ……2分
由，得，所以矩阵的另一个特征值为2. …3分
（Ⅱ）矩阵的一个特征值为，对应的一个特征向量为，……4分
另一个特征值为，对应的一个特征向量为，……5分
∵，∴. ……7分
（2）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.
解析：（Ⅰ）曲线可化为即， ……1分
所以曲线在极坐标系中的方程为， ……2分
由于包含的情况，∴曲线在极坐标系中的方程为. …3分
（Ⅱ）直线的方程可化为…4分圆的圆心到直线的距离为…5分 又圆的半径为，直线被曲线截得的弦长…7分
（3）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围．
解析：（Ⅰ）当时，由得，所以；
当时，由得，所以；
当时，由得，所以. ……2分
综上得：不等式的解集. ……3分
（Ⅱ），4分由柯西不等式得
， 当时取“=”，

8