高三数学一轮复习-第二讲-空间点、直线、平面之间的关系.doc

第二讲　空间点、直线、平面之间的关系
一、选择题
1．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是 (　　)
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的
两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；
D项，正确．
答案：D
2．(2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选项A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这
个平面；选项B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个
平面；选项C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行于这个平面内任意
一条直线；选项D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或
异面．故选B.
答案：B

3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，
错误的为 (　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，∴PQ∥平面DAC.
又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故有选
项A、B、D正确，C错误．
答案：C

4．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直
径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点
B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC
又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC；
∵OM∥PA，∴OM∥平面PAC；∵BC⊥平面PAC，
∴BC是点B到平面PAC的距离，故①、②、③都正确．
答案：A
5．(2010·辽宁)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁
条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 (　　)
A．(0，＋) B．(1,2)
C．(－，＋) D．(0,2)
解析：构成如图所示的两种三棱锥，

图(1)中有AC＝BD＝a，取AC中点E，
∵AB＝BC＝2，则BE⊥AC，
∴BE＝ ，易得DE＝BE，在△BDE中由三边关系可得2 >a，解得0<a<2；
图(2)取BD中点F，∵AB＝AD＝a，
∴AF⊥BD，
AF＝，∵BC＝CD＝BD＝2，
∴CF＝，
在△AFC中由三边关系可得
2－<<2＋，解得－<a<＋；
综上a的取值范围为(0，＋)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．(2009·安徽)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的
编号)
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是
△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高
的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于四个面的面积；⑤分别作三组相对棱
中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
答案：①④⑤
7．(2009·江西)体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积
等于________．
解析：设正方体棱长为a，球半径为r.
∵a3＝8，∴a＝2，∵4πr2＝6a2，
∴r＝ ，∴V球＝π3＝.
答案：

8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
解析：将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．连结A1C即为CP＋PA1的最小
值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，

∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.
∴A1C＝＝＝5.
答案：5
9．(2009·浙江理)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线
段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平
面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析：

如图，在平面ADF内过D作DH⊥AF，垂足为H，连结HK，过F点作PF∥BC交
AB于点P.
设∠FAB＝θ，则cos θ∈.
设DF＝x，则1<x<2.
∵DK⊥平面ABC，DH⊥AF，则AH⊥HK.
在Rt△ADF中，AF＝，∴DH＝ .
∵△ADF和△APF都是直角三角形，PF＝AD，
∴Rt△ADF≌Rt△APF，AH＝ ，AP＝DF＝x.
∵在Rt△AHK中，cos θ＝ ，
在Rt△APF中，cos θ＝，
∴cos θ＝ ＝，∴x＝.
∵1<x<2，∴1<<2，∴<t<1.
∴< <，即<<
即<<，∴<1＋t2<2，∴<t<1
综上知<t<1.
答案：
三、解答题

10．(2010·江苏镇江调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB，底面ABCD是菱形，
且∠ABC＝60°，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足DE＝2PE，求证：
(1)平面PAB⊥平面PMC；
(2)直线PB∥平面EMC.

证明：(1)∵PA＝PB，M是AB的中点．∴PM⊥AB.
∵底面ABCD是菱形，
∴BA＝BC.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
则CM⊥AB.∵PM∩CM＝M，∴AB⊥平面PMC，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PMC.
(2)连BD交MC于F，连EF.
由CD＝2BM，CD∥BM，
易得△CDF∽△MBF.
∴DF＝2BF.∵DE＝2PE，∴EF∥PB.
∵EF⊂平面EMC，PB⊄平面EMC，
∴PB∥平面EMC.

11．(2009·广东理)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1
的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面
DCC1D1内的正投影．
(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的
体积；
(2)证明：直线FG1⊥平面FEE1；

(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．
(1)解：点A、E、G、F在平面DCC1D1的投影分别为点D、E1、G1、F，连结EF、
EE1、EG1、ED.则VE－DE1FG1＝VF－EE1G1＋VD－EE1G1＝×1×1＋×1×1＝.
(2)证明：∵点E在平面DCC1D1的正投影为点E1，则EE1⊥面DCC1D1.
∵FG1⊂平面DCC1D1，∴EE1⊥FG1.
在△E1FG1中，FG1＝＝，
E1F＝＝，E1G1＝2，
∴FE＋FG＝E1G＝4，∴FG1⊥FE1.
∵FE1∩EE1＝E1，
∴FG1⊥平面FEE1.
(3)解：取正方形ADD1A1的中心为M，连结EM、AM，
则EM綊E1G1，且EM⊥面AA1D1D，∴EM⊥AM.
∵AM＝＝，
AE＝ ＝，EM＝2，
∴ sin ∠AEM＝＝＝.
∴异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为.

12．(2009·海南、宁夏卷)如右图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都
是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求
SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥AC.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SD.
(2)设正方形ABCD的边长为a，则SD＝a.
又OD＝a，∴∠SDO＝60°.
连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，
∴AC⊥OP，且AC⊥OD，
∴∠POD是二面角P－AC－D的平面角．
由SD⊥平面PAC知，SD⊥OP，
∴∠POD＝30°，
即二面角P－AC－D的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD.
过N作PC的平行线与SC的交点即为E.
连接BN，在△BDN中，知BN∥PO.
又∵NE∥PC，
∴平面BEN∥平面PAC，
∴BE∥平面PAC，
由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.