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广西省林市、崇左市、防城港市2013届高三年级第二次联合
模拟考试数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设，则
A. B. C. D.
2. 若，且，且与的夹角是
A. B. C. D.
3. 已知，，则函数的反函数为
A. B.
C. D.
4. 数列中，，则等于
A. 4 B. C. 8 D. 16
5. 已知椭圆，其左顶点为A，上顶点为B，右准线为，则直线AB与直线的交点纵坐标为
A. B. C. D.
6. 设满足约束条件，则的最大值是
A. 6 B. C. 7 D.
7. 条件p：，条件q：，若是的充分而不必要条件，则的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知圆经过双曲线的左顶点和右焦点，则双曲线的离心率为
A. B. 2 C. D.
9. 在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则等于
A. B. C. D. 1
11. 2名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名相邻，则不同的排法种数是
A. 36 B. 42 C. 48 D. 60
12. 已知，且，则的最大值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则______________。
14. 二项式的展开式中常数项是__________。
15. 已知函数若存在且，使得成立，则实数的取值范围是______________。
16. 已知底面为正三角形，侧棱长都相等的三棱锥S－ABC各顶点都在半球面上，其中A、B、C三顶点在底面圆周上，若三棱锥S－ABC的体积为，则该半球的体积为_________。
三、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分10分）
在中，角、、所对边分别是、、，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积。
18. （本小题满分12分）
已知公比为q的等比数列的前6项和为，且成等差数列。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为，求不等式的解集。
19. （本小题满分12分）
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分。若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为。假设甲、乙两人射击互不影响。
（Ⅰ）若乙射击两次，求其得分为2的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人各射击一次所得分数之和不小于2的概率。
20. （本小题满分12分）
如图，已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，高，P为的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小。
21. （本小题满分12分）
已知函数。
（Ⅰ）若为的极值点，求的值；
（Ⅱ）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值。
22. （本小题满分12分）
已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，直线过点且与抛物线交于、两点。
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若，试求动点R的轨迹方程。
【试题答案】
一、选择题
1-5 CBDCB 6-10 CDABA 11-12 CB
二、填空题
13. 14. 80 15. 16.
17. 解：（Ⅰ） 3分
5分
（Ⅱ）由余弦定理得：
， 7分
又，所以，即，由，得。 9分
所以。10分
18. 解：（Ⅰ）∵、、成等差数列，
∴，即，∴。2分
则。3分
解得，4分
∴。5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴。7分
。8分
∴。10分
解得。
即不等式的解集为。12分
19. 解：（Ⅰ）设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件。2分
则，3分
依题意得，解得。4分
所以乙射击两次得分为2的概率是。6分
（Ⅱ）甲、乙分数之和为2时， 8分
， 10分
甲、乙分数之和为4时，，11分
所以所求概率为。12分
20. 解：（Ⅰ）连结，
∵是长方体，
∴面。1分
又面，∴。
又ABCD是正方形。2分
∴。
∴面，即面，4分
又面，∴。6分
（Ⅱ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
由题意得，
于是，，8分
设面BDP。
不设防，由得
∴。10分
设面CDP，取，
若与的夹角，则。11分
据分析二面角是锐角，∴二面角的大小为。12分
21. 解：（Ⅰ）， 1分
又∵为的极值点，
∴，即。3分
∴或，经检验或时，为的极值点。
∴或。5分
（Ⅱ）由题可知即 6分
∴，7分
。8分
∴。9分。
当时，；当时，；
当时，。11分
又
∴在区间上的最大值为8。12分
22. 解：（Ⅰ）由椭圆的标准方程得，1分
所以其焦点坐标为，3分
又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以，得。5分
（Ⅱ）设，，。
由得，
所以。7分
而，可得。8分
又FR的中点坐标为，
当时，利用有，整理得。10分
当时，R的坐标为，也满足。11分
所以即为动点R的轨迹方程。12分
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