押题卷答案.doc

押题卷（一）
一、填空题
1右图是一个算法流程图，则输出的a的值是__127______

2现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为________．
3已知函数f(x)＝|2x－2|(x∈(－1，2))，则函数y＝f(x－1)的值域为___[0，2)　_____
二、解答题
4某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．
(1) 求S关于x的函数关系式；
(2) 求S的最大值．

解：(1) 由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8，450)．(6分)
(2) 因为8<x<450，所以2x＋≥2＝240，(8分)
当且仅当x＝60时等号成立．(10分)
从而S≤676.(12分)
答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)

5已知矩阵M＝满足：Mαi＝λiαi，其中λi(i＝1，2)是互不相等的实常数，ai(i＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝，求矩阵M.
解：由题意，λ1，λ2是方程f(λ)＝＝λ2－ab＝0的两根．
因为λ1＝1，所以ab＝1.　①(2分)
因为Mα2＝λ2α2，所以＝λ2，从而(5分)
所以λ＝ab＝1.
因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.从而a＝b＝－1.(8分)
故矩阵M＝.(10分)

6已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]．记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程．
解：设M(x，y)，则(2分)
两式平方相加得x2＋y2＝2.(5分)
又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，所以x∈，y∈.(8分)
所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈)．(10分)
押题卷（二）
一、填空题
1某中学共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为__93______．

2右图是一个算法流程图，则输出的x的值是___59____．
3同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为________．
4.已知函数f(x)＝sin.若y＝f(x－φ)是偶函数，则φ＝________
5已知f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1，2 015)上零点的个数为____11____．
二、解答题
6. 已知矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，求实数m，n.
解：由MM－1＝＝＝，(5分)
所以解得(10分)

7在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．若曲线C与直线l：y＝x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：(解法1)将曲线C的参数方程化为普通方程为x＝8y2，(3分)
解方程组得或(6分)
所以A(0，0)，B，所以AB＝＝.(10分)
(解法2)将曲线C的参数方程代入直线l，得t＝t2，解得t1＝0，t2＝1.(3分)
可得A(0，0)，B，(6分)
所以AB＝＝.(10分)

8一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品中的任一种不受其他商品的影响．
(1) 求该网民至少购买4种商品的概率；
(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．

解：(1) 记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝4，5，
则P(A5)＝××××＝，
P(A4)＝××××＋C××××＋C××××＝，(2分)
所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A5)＋P(A4)＝＋＝.
答：该网民至少购买4种商品的概率为.(3分)
(2) 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(η＝0)＝××××＝，
P(η＝1)＝C××××＋C××××＋××××＝，
P(η＝2)＝××××＋××××＋C××××＋C××××＋C××C××＝，
P(η＝3)＝1－P(η＝0，1，2，4，5)＝1－－－－－＝，
P(η＝4)＝P(A4)＝，P(η＝5)＝P(A5)＝.(8分)
所以，随机变量η的概率分布为

η
0
1
2
3
4
5
P

故Eη＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(10分)

押题卷（三）
一、填空题
1已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝__(－2，1]____________
2某课题组进行城市空气质量监测，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为____3______
3运行如图所示的流程图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为____9______．

4设x∈{－1，1}，y∈{－2，0，2}，则以(x，y)为坐标的点落在不等式x＋2y≥1所表示的平面区域内的概率为______　______．
5. 已知函数f(x)＝lg的定义域是，则实数a的值为_____　_______．
6. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_____(1，2]_______．
二、解答题
7已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
解：设α＝，由A2α＝β得＝，(5分)
∴ ∴ ∴ α＝.(10分)

8在极坐标系中，已知圆ρ＝3cosθ与直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：ρ2＝3ρcosθ，圆ρ＝3cosθ的普通方程为x2＋y2＝3x，即＋y2＝.(3分)
直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的普通方程为2x＋4y＋a＝0.(6分)
又圆与直线相切，所以＝，解得a＝－3±3.(10分)
9. 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1) 若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？
(2) 已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

解：设AP＝x米，AQ＝y米．
(1) x＋y＝200，△APQ的面积S＝xysin120°＝xy.(3分)
∴ S≤＝2 500.当且仅当x＝y＝100时取“＝”．(6分)
(注：不写“＝”成立条件扣1分)
(2) 由题意得100×(1·x＋1.5·y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.(8分)
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以
PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y
＝1.75y2－400y＋40 000.(11分)
当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.(13分)
答：(1) 当AP＝AQ＝100米时，三角形地块APQ的面积最大为2 500平方米；
(2) 当AP＝米，AQ＝米时，可使竹篱笆用料最省．(14分)

押题卷（四）
一、填空题
1执行如右图所示的流程图，则输出的n为____4________．
2若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝_____2_______．
3袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为____________．
4已知函数f(x)＝是奇函数，则sinα＝_____-1_______．
二、解答题
5已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程．
解：∵ B＝，∴ B－1＝，
∴ AB－1＝＝.(5分)
设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y′)，则
＝，∴
代入l′，得(x－2y)＋(2y)－2＝0，化简，得l：x＝2.(10分)
6已知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－cosθ)＝1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．
解：圆O：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋1＝0，(5分)
圆心O到直线l的距离d＝＝，弦长AB＝2＝.(10分)

7记C为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C≤i2的二元数组(r，i)中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C(r＝0，1，2，…，i)都等可能出现．求Eξ.
解：∵ C≤i2，
当i≥2时，C＝C＝1≤i2，C＝C＝i≤i2，C＝C＝≤i2，C≤，
∴ 当2≤i≤5，i∈N*时，C≤i2的解为r＝0，1，…，i.(3分)
当6≤i≤10，i∈N*，C≥Cr≤.
由C＝≤i2i＝3，4，5可知：
当r＝0，1，2，i－2，i－1，i时，C≤i2成立，
当r＝3，…，i－3时，C≥C≥i2(等号不同时成立)，即C＞i2.(6分)

ξ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(ξ)

(8分)
∴ Eξ＝(0＋1＋2)×＋(3＋4＋5＋6＋7＋8)×＋9×＋10×＝.(10分)

8如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1 km.设四边形ABCD的周长为c km.
(1) 若C、D分别为QR、PR的中点，求AB的长；
(2) 求周长c的最大值．

(1) 解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，

∵ C、D分别为QR、PR的中点，PQ＝2，∴ CD＝PQ＝1.
∵ △PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，
∴ RO＝PQ＝1，NO＝RO＝.
∵ MN＝1，∴ MO＝.(3分)
在Rt△BMO中，BO＝1，∴ BM＝＝，
∴ AB＝2BM＝.(6分)
(2) (解法1)设∠BOM＝θ，0＜θ＜.
在Rt△BMO中，BO＝1，∴ BM＝sinθ，OM＝cosθ.
∵ MN＝1，∴ CN＝RN＝1－ON＝OM＝cosθ，
∴ BC＝AD＝，(8分)
∴ c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[sinθ＋cosθ＋](10分)
≤2＝2，
∴ 当θ＝或θ＝时，周长c的最大值为2 km.(14分)
(解法2)以O为原点，PQ为y轴建立平面直角坐标系．
设B(m，n)，m，n＞0，m2＋n2＝1，C(m－1，m)，
∴ AB＝2n，CD＝2m，BC＝AD＝.(8分)
∴ c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[m＋n＋](10分)
≤2＝2
，
∴ 当m＝，n＝或m＝，n＝时，周长c的最大值为2 km.(14分)

押题卷（五）
一、填空题
1已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝___{－1，1，3}_____．
2根据如图所示的流程图，则输出的结果i为____7_______．

3.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为____________．
4若一组样本数据8，x，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差__2___
5已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋＝0，a，b∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______________．
二、解答题
6已知矩阵M＝，试求：
(1) 矩阵M的逆矩阵M－1；
(2) 直线y＝2x在矩阵M－1对应的变换作用下的曲线方程．
解：(1) 由M＝，∴ M－1＝.(5分)
(2) 设点P(x，y)是曲线y＝2x上任意一点，在矩阵M－1对应的变换作用下得到的为点Q(x′，y′)，则＝＝，
所以即(8分)
且点P在直线y＝2x上，于是得2y′＝2×x′，2y′＝x′，
即直线y＝2x在矩阵M－1对应的变换作用下的曲线方程为y＝x.(10分)
7已知半圆C的参数方程为α为参数，α∈.
(1) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
(2) 在(1)的条件下，设T是半圆C上一点，且OT＝，试写出T点的极坐标．
解：(1) 根据半圆C的参数方程α为参数，α∈，
得圆的普通方程：x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1)，(3分)
所以，半圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈.(5分)
(2) 依题意可知半圆C的直径为2，设半圆C的直径为OA，
所以sin∠TAO＝.(8分)
因为∠TAO∈，所以∠TAO＝.
因为∠TAO＝∠TOX，所以∠TOX＝，所以点T的极坐标为.(10分)

8已知整数n≥3，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，…，AC，设A1，A2，A3，…，AC中所有元素之和为Sn.
(1) 求S3，S4，S5，并求出Sn；
(2) 证明：S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6C.
(1) 解：当n＝3时，集合M只有1个符合条件的子集，
S3＝1＋2＋3＝6，(1分)
当n＝4时，集合M每个元素出现了C次，
S4＝C(1＋2＋3＋4)＝30，(2分)
当n＝5时，集合M每个元素出现了C次，
S5＝C(1＋2＋3＋4＋5)＝90，(3分)
所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C次，故Sn＝C·.(5分)
(2) 证明：因为Sn＝C·＝＝6C.(7分)
则S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6(C＋C＋C＋…＋C)＝6(C＋C＋C＋…＋C)＝6C.(10分)

9某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
解：(1) 由题意知，y＝p－x－6.(3分)
将p＝代入并化简，得y＝19－－x(0≤x≤a)．(5分)
(2) y＝22－≤22－3＝10，
当且仅当＝x＋2，即x＝2时，上式取等号．(8分)
当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)
y＝19－－x，y′＝－，
当x＜2时，y′＞0，此时函数y在[0，2]上单调递增，
所以当a＜2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)
所以x＝a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)
综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；
当a＜2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．(14分)

押题卷（六）
一、填空题
1如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________

2某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为________．

3如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为___7_____．

4已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(2－x)，则f(0)＋f(2)的值为____-2____．
5已知函数f(x)＝则不等式f(f(x))≤3的解集为__(－∞，]______．
二、解答题
6已知a，b∈R，矩阵A＝所对应的变换TA将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值．
解：设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换TA的作用下变成点P′(x′，y′)，
由＝，得(4分)
因为P′(x′，y′)在直线x－y－1＝0上，故x′－y′－1＝0，
即(－1－b)x＋(a－3)y－1＝0.(6分)
因为P(x，y)在直线x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0. (8分)
因此解得a＝2，b＝－2.(10分)
7已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(a>0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l的距离的最大值为＋1，求a的值．
解：因为直线l的参数方程为消去参数t，得l的普通方程为y＝2x＋1.(3分)
因为圆C的参数方程为(a>0，θ为参数)，
所以圆C的普通方程为x2＋y2＝a2.(6分)
因为圆C的圆心到直线l的距离d＝，(8分)
故依题意，得＋a＝＋1，解得a＝1. (10分)

8如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．
(1) 求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2) 是否存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3 km2？并说明理由．

解：(1) 如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2，4)．(1分)
设边缘线AC所在抛物线的方程为y＝ax2, 把(2，4)代入，得4＝a×22，解得a＝1，
所以抛物线的方程为y＝x2.(3分)
因为y′＝2x，所以过P(t，t2)的切线EF的方程为y＝2tx－t2.(5分)
令y＝0，得E；
令x＝2，得F(2，4t－t2)，故S＝(4t－t2)，(8分)
所以S＝(t3－8t2＋16t)，定义域为(0，2]．(9分)
(2) S′(t)＝(3t2－16t＋16)＝(t－4)，(12分)
由S′(t)>0，得0<t<，所以S′(t)在上是增函数，由S′(t)<0，得<t<4，所以S′(t)在上是减函数，(14分)
所以S在(0，2]上有最大值S＝.
因为＝3－<3，所以不存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3km2.
答：不存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3km2.(16分)

9某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
(1) 求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；
(2) 已知某同学所选修3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，通过自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
解：(1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，
则P(A)＝1－＝1－＝，(2分)
所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为.(3分)
(2) 随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3.(4分)
因为P(ξ＝0)＝×2＝，P(ξ＝1)＝×2＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，P(ξ＝3)＝×2＝，(8分)
所以ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
P

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.3.(10分)

押题卷（七）
一、填空题
1在一次射箭比赛中，某运动员5次射中的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是__________．
2甲、乙两位同学下象棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为___ 0.3_____
3运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为___42_____．
i←1
S←0
While i＜8
　i←i＋3
　S←2×i＋S
End While
Print S
4已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.又已知函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是____ [－5，－2]　__________．
二、解答题
5在平面直角坐标系xOy中，求直线x－y－1＝0在矩阵M＝表示的变换作用下所得曲线的方程．
解：设P(x，y)是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q(x′，y′)，
则解得(5分)
代入x′－y′－1＝0中，得(x＋y)－(y－x)－1＝0，
化简可得所求曲线方程为x＝.(10分)
6在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin＝1的距离．
解：将圆ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1，0)，(4分)
又2ρsin＝1，即2ρ＝1，
所以直线的普通方程为x＋y－1＝0，(8分)
故所求的圆心到直线的距离d＝.(10分)

7设集合S＝{1，2，3…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数．记满足条件的集合对(A，B)的个数为Pn.
(1) 求P2，P3的值；
(2) 求Pn的表达式．
解：(1) 当n＝2时，即S＝{1，2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1，(2分)
当n＝3时，即S＝{1，2，3}，若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2，3}；
若A＝{2}或A＝{1，2}，则B＝{3}；所以P3＝5.(4分)
(2) 当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k－1中任取若干个(包含不取)，
所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1种情况，(6分)
此时，集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干个(至少取1个)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－1种情况，
所以，当集合A中的最大元素为“k”时，
集合对(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1对，(8分)
当k依次取1，2，3，…，n－1时，可分别得到集合对(A，B)的个数，
求和可得Pn＝(n－1)·2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)·2n－1＋1.(10分)

8某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1) 如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布列及数学期望E(X)；
(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
解：(1) 依题意，X的可能取值为1，0，－1，(2分)
X的分布列为

X
1
0
－1
P

(4分)
E(X)＝1×－1×＝.(5分)
(2) 设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为

Y
2
－2
P
α
β
(8分)
E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥，∴ ≤α≤1.(10分)

押题卷（八）
一、填空题
1在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为____　____．
2右图是一个算法流程图，输出的结果为____15____．

3已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是___ _____．
4设函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 _ (－∞，－1]∪[2，＋∞)_______
二、解答题
5在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线C2：＋y2＝1，求曲线C1的方程．
解：设P(x，y)是曲线C1上任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′，y′)，　
则有＝，即(5分)
又点P′(x′，y′)在曲线C2：＋y2＝1上，
故＋y′2＝1，从而＋2＝1，
所以曲线C1的方程是 x2＋y2＝4.(10分)

6已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标．
解：由ρcos＝－，得曲线C1的直角坐标系的方程为x＋y＋1＝0，(3分)
由得曲线C2的普通方程为x2＋y＝1(－1≤x≤1)．(7分)
由得x2－x－2＝0，即x＝2(舍去)或x＝－1，
所以曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(－1，0)．(10分)

7射击测试有两种方案．方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击．某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分．若没有命中则得0分．用随机变量ξ表示该射手一次测试累计得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立．
(1) 如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；
(2) 该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由．
解：在甲靶射击命中记作A，不中记作A －；在乙靶射击命中记作B，不中记作B －，
其中P(A)＝，P(A －)＝1－＝，P(B)＝，P(B －)＝1－＝. (2分)
(1) ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则
P(ξ＝0)＝P(A －B －B －)＝P(A －)P(B －)P(B －)＝××＝，
P(ξ＝2)＝P(A －BB －)＋P(A －B －B)＝P(A －)P(B)P(B －)＋P(A －)P(B －)P(B)＝××＋××＝，
P(ξ＝3)＝P(A)＝，
P(ξ＝4)＝P(BB)＝P(A －)P(B)P(B)＝××＝.
ξ的分布列为

ξ
0
2
3
4
P

Eξ＝0×＋2×＋3×＋4×＝3.(7分)
(2) 射手选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2 ，
P1＝P(ξ≥3)＝＋＝；
P2＝P(ξ≥3)＝P(B －BB)＋P(BB－B)＋P(BB)＝××＋××＋×＝，(9分)
因为P2>P1，所以应选择方案2通过测试的概率更大．(10分)

8对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0，1，2，…，n－1}，i＝0，1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.
(1) 求A2；
(2) 设An＝·f(n)，求f(n)．
解：(1) 当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0，1}，a1∈{0，1}，a2＝1，
故满足条件的x共有4个，
分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，
它们的和是22，即A2＝22.(4分)
(2) 由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，
由分步计数原理可得a0，a1，a2，…，an－1的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)，
即满足条件的x共有nn(n－1)个．(6分)
当a0分别取0，1，2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，
故An中所有含a0项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)nn－1(n－1)＝；
同理，An中所有含a1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)nn－1(n－1)·n＝·n；
An中所有含a2项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)nn－1(n－1)·n2＝·n2；…
An中所有含an－1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；
当an分别取i＝1，2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，
故An中所有含an项的和为(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn；
所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn
＝·＋·nn＝(nn＋1＋nn－1)，
故f(n)＝nn＋1＋nn－1.(10分)

押题卷（九）
一、填空题
1设全集U＝Z，集合M＝{1，2}，P＝{－2，－1，0，1，2}，则P∩∁UM＝{－2，－1，0}．
2某校共有师生1 600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____75_______．
3执行如图流程图，若输入a＝20，b＝，则输出a的值为__________．

4设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则向量a，b的夹角为锐角的概率是____　________．
二、解答题
5某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近．现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆周上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图)．设小岛O到AB的距离为x，∠OAB＝α，D船到小岛O的距离为d.
(1) 请分别求d关于x，α的函数关系式d＝g(x)，d＝f(α)，并分别写出定义域；
(2) 当A，B两艘船之间的距离是多少时？搜救范围最大(即d最大)．

解：设x的单位为百海里．
(1) 由∠OAB＝α，AB＝2OAcosA＝2cosA，AD＝AB＝2cosα.(2分)
在△AOD中，OD＝f(α)＝(3分)
＝，α∈.(定义域1分)(5分)
若小岛O到AB的距离为x，AB＝2，(6分)
OD＝g(x)＝(8分)
＝，x∈(0，1)．(定义域1分)(10分)
(2) OD2＝4cos2α＋1＋4cosαsinα＝4×＋1＋4×＝2(sin2α＋cos2α)＋3
＝2sin＋3，α∈.(11分)
当2α＋∈，则2α＋＝，即α＝时，OD取得最大值，(12分)
此时AB＝2cos＝2×＝(百海里)．(13分)
答：当AB间距离为100海里时，搜救范围最大．(14分)

6已知矩阵M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式．

解：MN＝＝，(4分)
即在矩阵MN变换下→＝＝，(6分)
x′＝x，y′＝2y，(8分)
代入得y′＝sin2x′，
即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x.(10分)

7已知直线l的极坐标方程为ρsin＝6，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1) 请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
(2) 求直线l被圆截得的弦长．
解：(1) 由ρsin＝6，得ρ＝6，
∴ y－x＝12，即x－y＋12＝0.(4分)
圆C的方程为x2＋y2＝100.(6分)
(2) ∵ d＝6，r＝10，弦长l＝2＝16.(10分)

8已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t.
(1) 当函数f(x)的定义域为[－1，1]时，求f(x)的值域；
(2) 求函数关系式b＝g(a)，并求函数g(a)的定义域；
(3) 求8s＋8t的取值范围．
解：(1) 若x∈[－1，1]时，令m＝2x∈，(1分)
f(x)＝l(m)＝m2－m＝－在[，2]上为增函数，(2分)
f(x)min＝l(m)min＝l＝－；f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，(3分)
f(x)的值域为[－，2]．(4分)
(2) 实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，则4s－2s＋4t－2t＝0，
则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0.(6分)
而a＝2s＋2t，b＝2s＋t，故a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝(a2－a)．(7分)
由题意，b＞0，a＞0，则(a2－a)＞0，故a＞1.(8分)
又2s＋2t＝4s＋4t≥2×，即a≥，故a≤2，当且仅当s＝t时取得等号．(9分)
综上，1＜a≤2.(10分)
(3) 8s＋8t＝(2s＋2t)(4s－2s×2t＋4t)＝a(a－b)
＝a＝－a3＋a2，a∈(1，2]．(12分)
令h(a)＝－a3＋a2，a∈(1，2]，
h′(a)＝－＋3a＝－a(a－2)≥0当a∈(1，2]恒成立，(14分)
故h(a)在a∈(1，2]上单调递增，h(a)∈(h(1)，h(2)]，故8s＋8t∈(1，2]．(16分)

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