高三数学奥赛系列辅导资料：函数奥赛竞赛练习.doc

函数奥赛竞赛练习

一、选择题
1．（2000年北京市中学生数学竞赛）已知函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题
2．（2001年全国高中数学联赛）函数的值域为_____。
3．（2001年全国高中数学联赛）不等式的解集为___________。
4．（2001年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足，且f(x)≥0，f(1)≠0，则=______。

三、解答题
5．（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。

6．（2000年全国高中数学联赛）若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b]。

7．（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数
在区间[-1，1]上的值域。

8．（第九届“希望杯”全国邀请赛试题）若实数x满足不等式
。试求函数的最大值。

9．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数的图象。

10．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数是偶函数还是奇函数？

11．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。
具体方案如下：
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：
（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；
（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；
（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。

参考答案
1．A 由于“抽象”没有具体的函数表达式，使题目显得有些难，化难为易的方法因而也就是化抽象为具体，不妨设f(x)=x+1（这样符合原题“f(x)有反函数”的规定）。于是以下种种全具体化了。反函数是，，向左平移2个单位所得图形表示的函数。这个函数的反函数，再与4个选择来对照。
A项是符合，
B项是不合，
C项是不合，
D项是不合。故选A。
2．

两边平方得，从而且。
由或y≥2。
任取y≥2，由，易知x≥2，于是。
任取，同样由，易知x≤1。
于是。
因此，所求函数的值域为。
3．
等价于或。即或。
此时，或或。
∴解为x>4或0<x<1或。
即解集为。
4．
这题f(x)不容易具体化，但是它的值则是可以具体化的。例如设x=0，y=0。
则由，
得，，f(0)=0。
再设x=0，y=1。
得，以f（0）=0代入，已知f(1) ≠0，
∴。
设x=1，y=1，
得，
即。
设x=2，y=1，
得，
。
设x=0，，得，
∴。
设x=0，，
得，
即，。
至此可求，

。
5．解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，
可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，
g(x+3)=f(x+3)-x-3，
再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换，可得
，①
，②
由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2
≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，
g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③
由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④
由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）
（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以
g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998
f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。
6．解f(x)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。
当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间[a，b]的位置分类求解。
f(x)图象顶点坐标为
，。
（1）当a<b<0时，
由f(x)在[a，b]上单调递增得，f(a)=2a，且f(b)=2b
即
于是a、b是二次方程的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a，b]不存在
（2）当a<0<b时，
f(x)在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而f(x)在x=0处取得最大值，在区间端点x=a或x=b处取得最小值，
即
则，
∴，
解得，
于是得区间。
（3）当b>a≥0时
由f(x)在[a，b]上单调递减得，f(a)=2b，且f(b)=2a，
即
解得或（舍去）
即得区间[1，3]。
综上所述，所求区间为[1，3]或
7．解：。值域为。
8．解：。。
9．解：研究2种情况。
①，即x≥1。于是
。
②，即x<1。于是
。
图象如图所示。

10．解：很明显对于任一x∈R，，由此f(x)的定义域为R。
研究和
。
因此，对任何x∈R，f(-x)=-f(x)，这表明f(x)是奇函数。
11．解：（1）
（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），
当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45(t-600)，得600<t≤1040(t∈N)，
综上，545≤t≤1040时（t∈N），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱。
（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式。
第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；
第二种方式的话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；
第三种方式的话费为：168元。
故选择第三种方式。
事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算。

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