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综合测试一
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集U=R，集合M={x|x>1}，P={x|x2>1}，则下列关系中正确的是（ ）
A. M=P
B. PM
C. MP
D. UM∩P=
思路解析：借助两个集合中元素的取值范围易知集合M是集合P的子集.
答案: C
2. 设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a, b)|a∈P, b∈Q}，则P※Q中元素的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 12
思路解析：※Q中元素分别为(3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (5,5), (5,6),(5,7)共12个.
答案：D
3. 设f(x)=|x-1|-|x|，则f［f()］等于（ ）
A. -
B. 0
C.
D. 1
思路解析：这是一个多层法则求值问题,先内后外,易得到答案.因为f()=0,而f(0)=1.
答案：D
4. 同时满足下列条件：（1）有反函数;（2）是奇函数;（3）其定义域集合等于值域集合的函数是（ ）
A. f(x)=
B. f(x)=(x-1)
C. f(x)=-x3
D. f(x)=x5+1
思路解析：本题可使用排除法,借助是奇函数可去掉A、B、D三个选项.
答案：C
5. 设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，y=f(x)是奇函数；②b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实根;
③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是（ ）
A. ①④B. ①③
C. ①②③D. ①②④
思路解析：要注意到函数f(x)=x|x|+bx+c的图象同参量b和c之间的关系.
答案：C
6. 已知函数y=f(2 x)的定义域是[-1, 1]，则函数y=f(log2x)的定义域是（ ）
A．(0，＋∞)
B．(0，1)
C．[1, 2]
D．[, 4]
思路解析：函数y=f(2 x)的定义域是［－1，1］,可知2x∈［,2］,所以log2x∈［,2］，可解出x∈［,4］.
答案:D
7. 函数y=,x∈(0,+∞)的反函数是（ ）
A. y=ln, x∈(-∞,1)
B. y=ln, x∈(-∞,1)
C. y=ln, x∈(1,+∞)
D. y=ln, x∈(1,+∞)
思路解析：可先分离常数y= =1+,又因为x∈(0,+∞),可知y>1,然后按照求反函数的方法,即反解出x，最后x与y互换.
答案：D
8. 函数y=f(x+1)与y=f－1(x+1)的图象（ ）
A.关于直线y=x对称
B.关于直线y=x+1对称
C.关于直线y=x－1对称
思路解析：举特殊的函数如f(x)=x+1,分别求出f(x+1)=x+2,f -1(x+1)=x，显然这两个函数图象是关于直线y=x+1对称的.
答案:B
9. 函 齳=x2-2x在区间[a, b]上的值域是[-1, 3],则点(a, b)的轨迹是图中的（ ）
思路解析：本题主要考查了二次函数的图象,可注意到分类讨论,借助图象可知，当a=-1时,1≤b≤3,当b=3时,-1≤a≤1，由上图可得答案.
答案:A
10. 设f（x）＝lg(10 x＋1)＋ax是偶函数，g（x）＝4x-b2x是奇函数，那么a＋b的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. -
D.
思路解析：f（x）＝lg(10 x＋1)＋ax是偶函数，可知f(-x)=lg-ax=f(x)，可求出a=-，g（x）＝是奇函数，可知g(0)=0，可得b=1.
答案:D
11. 下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A. (1)
B. (1) (3) (4)
C. (1）（2）（3）
D. (3）（4）
思路解析：注意到函数的图象的特点，不能存在一个自变量的取值对应两个或两个以上的函数值.
答案: B
12. 某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ）
A. 3人洗浴
B. 4人洗浴
C. 5人洗浴
D. 6人洗浴
思路解析：设经过时间t时水箱中的水量为y,可知y=2t2-34t+200,当t==时,y取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴.
答案:B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13. 函数y=的定义域为______________．
思路解析：要使函数有意义,则0<4x2-3x≤1,可解出x∈［-,0）∪(,1］.
答案:［-,0)∪(,1］
14. 已知a、b为常数，若f(x)=x2+4x+3,f(ax+ b)=x2+10x+24，则5a-b=__________．
思路解析：使用待定系数法.f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,可求出a=1,b=3.
答案:2
15. 函数y=的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是__________.
思路解析：注意要分类讨论,当k=0时，显然成立，当k≠0时，则要有（4k）2-4k×3<0,可解出0<k<.
答案:0≤k<
16. “依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过800元的，免征个人工资、薪金所得税；超过800元部分需征税，设纳税所得额(所得额指月工资、薪金中应纳税的部分)为x，x=全月总收入－800(元)，税率见下表：
级数
全月应纳税所得额x
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过100 000元部分
45%
某人2004年10月份工资总收入为4 000元，试计算这个人10月份应纳个人所得税___________元.
思路解析：(1)依税率表，有
第一段：x·5%,
第二段：(x－500)·10%＋500·5%,
第三段：(x－2 000)·15%＋1 500·10%＋500·5%,
即f(x)=.
(2)这个人10月份纳税所得额x=4 000－800=3 200, f(3 200)=0.15(3 200－2 000)＋175=355(元).
答案:355
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17． （本小题满分12分）若集合M=｛a｜a=x2－y2，x，y∈Z｝.
（1）整数8，9，10是否属于M？
（2）证明一切奇数都属于M.
解：（1）∵8=32-1，9=52-42，∴8∈M，9∈M.
假设10=x2-y2，x，y∈Z，则(|x|＋|y|)(|x|－|y|)=10，且|x|＋|y|＞|x|－|y|＞0.
∵10=1×10=2×5，
∴,或显然均无整数解，∴10M.
（2）设奇数为2n＋1，n∈Z，则恒有2n＋1=(n＋1)2－n2，
∴2n＋1∈M，即一切奇数都属于M.
18． （本小题满分12分）已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数．
解： （1）当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［-5,5］.
∴x=1时，f(x)的最小值为1；
x=-5时，f(x)的最大值为37．
（2）函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a，
∵f(x)在区间［-5,5］上是单调函数，∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范围是a≤-5或a≥5．
19． （本小题满分12分）已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|<0}.
（1）当a=2时，求A∩B;
（2）求使BA的实数a的取值范围．
解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A∩B=(4,5).
（2）∵B=(2a,a2+1)，
当a<13时,A=(3a+1,2) ,
要使BA，必须,此时a=-1；
当a=时，A＝，使BA的a不存在；
当a>时，A＝（2，3a＋1）,
要使BA，必须,此时1≤a≤3.
综上,可知使BA的实数a的取值范围为［1，3］∪{－1}.
20. （本小题满分12分）设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时， f(x)<0,f(1)=-2.
（1）求证：f(x)是奇函数.
（2）试问在-3≤x≤3时，f(x) 是否有最值？如果有,求出最值；如果没有，说出理由.
答案：
（1）证明：令x=y=0，则有f(0)=2f(0)f(0)=0.令 y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数．
（2）解：任取x1<x2，则x2-x1>0f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)
>0.
∴f(x1)>f(x2).∴y=f(x)在R上为减函数.
因此f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值.
f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,
∴函数最大值为6，最小值为-6.
21. （本小题满分12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数y=hx2+qx+r或函数y=a·bx＋c(a、b、c)为常数.已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.
解：令f(x)=px2+qx+r(p≠0)，由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,有,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(4)=1.3.
再设g(x)=a·bx+c,由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,有
,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(4)=1.35.
×(0.5)x+1.4作模拟函数较好.
22. （本小题满分14分）设函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x),
（1）求f(x)的定义域.
（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由.
解：（1）由,得,
因为函数的定义域是非空集合，故p>1，所以f(x)的定义域为（1，p）.
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-(x-)2+］,
∴当≤1,即1<p≤3时，f(x)既无最大值又无最小值；
当1<<p, 即p>3时，当x=时，f(x)有最大值log2,但没有最小值.
综上,可知1<p≤3,f(x)既无最大值又无最小值；p>3,f(x)有最大值log2,但没有最小值.
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