线性代数(习题课).pdf

1 习题课习题课1 1 1 1主要内容主要内容二二.典型例题典型例题三三.测验题测验题2一一.主要内容主要内容1.1.1.1.矩阵的定义矩阵的定义 =mnmnmnmnm m m mm m m mn n n nn n n na a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aA A A A2 2 2 21 1 1 12 2 2 222222222212121211 1 1 11212121211111111 记作记作简记为简记为()n n n nm m m mij ij ij ija a a aA A A A =n n n nm m m mA A A A 或或),2 2 2 2,1 1 1 1;,2 2 2 2,1 1 1 1(n n n nj j j jm m m mi i i ia a a an n n nm m m mij ij ij ij=个数个数由由列的数表，列的数表，行行排成的排成的n n n nm m m m.矩阵矩阵简称简称n n n nm m m m 实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算3一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2.2.2.2.矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等:同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足交换律交换律交换律交换律结合律结合律结合律结合律A A A AB B B BB B B BA A A A+=+)()(C C C CB B B BA A A AC C C CB B B BA A A A+=+4数乘满足数乘满足数乘满足数乘满足););););()(A A A AA A A A =;)(A A A AA A A AA A A A +=+.)(B B B BA A A AB B B BA A A A +=+数与数与矩阵相乘：矩阵相乘：数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为 A A A AA A A A A A A A ()()()()ij ij ij ijAAaAAaAAaAAa=矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：()()()()()()()(),ijijijijijijijijm ss nm ss nm ss nm ss nABABABABabababab=设设规定规定()()()(),ij ij ij ijmnmnmnmnABCABCABCABCc c c c =其中其中11221122112211221 1 1 1(1,2,;1,2,)(1,2,;1,2,)(1,2,;1,2,)(1,2,;1,2,)s s s sijijijissjikkjijijijissjikkjijijijissjikkjijijijissjikkjk k k kca ba ba ba bca ba ba ba bca ba ba ba bca ba ba ba bim jnim jnim jnim jn=+=+=+=+=5乘法满足乘法满足););););()(BCBCBCBCA A A AC C C CABABABAB=););););(),),),),()()(为数为数为数为数其中其中其中其中 B B B BA A A AB B B BA A A AABABABAB=;)(,)(CACACACABABABABAA A A AC C C CB B B BACACACACABABABABC C C CB B B BA A A A+=+=+.E E E EA A A AA A A AA A A AE E E En n n nn n n nm m m mn n n nm m m mn n n nm m m mm m m m =矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律6 A A A A是是n n n n 阶方阵，阶方阵，个个k k k kk k k kA A A AA A A AA A A AA A A A=方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：0 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1)(a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xf f f fk k k kk k k kk k k kk k k k+=0 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1)(a a a aA A A Aa a a aA A A Aa a a aA A A Aa a a aA A A Af f f fk k k kk k k kk k k kk k k k+=E E E Emkm kmkm kmkm kmkm kA AAA AAA AAA AA+=()k k k kmmkmmkmmkmmkAAAAAAAA=并且并且（m,km,km,km,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足:();1 1 1 1A A A AA A A AT T T T=();2 2 2 2A A A AA A A An n n n =()B B B BA A A AABABABAB=3 3 3 37转置矩阵转置矩阵:一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵:把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .A A A AA A A AA A A A满足：满足：()();1 1 1 1A A A AA A A AT T T TT T T T=()();2 2 2 2T T T TT T T TT T T TB B B BA A A AB B B BA A A A+=+()();3 3 3 3T T T TT T T TA A A AA A A A =()().4 4 4 4T T T TT T T TT T T TA A A AB B B BABABABAB=对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：A A A AA A A AA A A A A A A AT T T TT T T TA A A AA A A A =是反对称矩阵是反对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵幂等矩阵：幂等矩阵：为为n n n n阶方阵，且阶方阵，且A A A A2 2 2 2AAAAAAAA=8伴随矩阵：伴随矩阵：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵A A A Aij ij ij ijA A A A =nnnnnnnnn n n nn n n nn n n nn n n nA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A A2 2 2 21 1 1 12 2 2 222222222121212121 1 1 12121212111111111.E E E EA A A AA A A AA A A AAAAAAAAA=93.3.3.3.逆矩阵逆矩阵定义：定义：A A A A为为n n n n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n n n n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAEABBAEABBAEABBAE=则称矩阵则称矩阵A A A A是是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B B B B称为矩阵称为矩阵A A A A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A A A A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A A A A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n n n n阶方阵阶方阵A A A A可逆可逆0 0 0 0A A A A1 1 1 11 1 1 1AAAAAAAAA A A A=且且推论：推论：设设A A A A、B B B B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABEABEABEABE=则则A A A A、B B B B都可逆，且都可逆，且11111111ABBAABBAABBAABBA=，101 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1,(0),(0),(0),(0)()()()()()()()(),()()()()()()()()T T T TT T T TA A A AA A A AA A A AA A A AAAAAAAAAAAAAAAAA =满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1 1 1 1）待定系数法）待定系数法（2 2 2 2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3 3 3 3）初等变换法）初等变换法分分块块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4.4.4.4.分块矩阵分块矩阵.)(,1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A A A AB B B BABABABABABABABABB B B BA A A A =且且且且也可逆也可逆也可逆也可逆那么那么那么那么都可逆都可逆都可逆都可逆与与与与若同阶方阵若同阶方阵若同阶方阵若同阶方阵111.1.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换逆变换逆变换初等变换初等变换三种三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换)(c c c cc c c cr r r rr r r rj j j ji i i ij j j ji i i i)(c c c cc c c cr r r rr r r rj j j ji i i ij j j ji i i i)(k k k kc c c ck k k kr r r ri i i ii i i i )1 1 1 1(1 1 1 1k k k kc c c ck k k kr r r ri i i ii i i i )(c c c ck k k kc c c cr r r rk k k kr r r rj j j ji i i ij j j ji i i i+)()(c c c ck k k kc c c cr r r rk k k kr r r rj j j ji i i ij j j ji i i i +第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组12矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.如果矩阵如果矩阵A A A A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,B,B,B,就称矩阵就称矩阵A A A A与矩阵与矩阵B B B B等价。记作等价。记作 ABABABAB三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵2.2.2.2.初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1 1 1 1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)E i jE i jE i jE i jE i jE i jE i jE i j =1 1 1 11 1 1 1()()()()()()()()E i kE iE i kE iE i kE iE i kE ik k k k =1 1 1 1()()()()()()()()E ij kE ijkE ij kE ijkE ij kE ijkE ij kE ijk =反身性传递性对称性等价具有：等价具有：133.3.3.3.初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系：阶初等矩阵。阶初等矩阵。乘一个相应的乘一个相应的的右边的右边相当于在相当于在施行一次初等列变换，施行一次初等列变换，对对阶初等矩阵；阶初等矩阵；的左边乘一个相应的的左边乘一个相应的相当于在相当于在施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，矩阵，对矩阵，对是是设设n n n nA A A AA A A Am m m mA A A AA A A An n n nm m m mA A A A 定理：定理：144.4.4.4.用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵位矩阵.定理定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1 1 1 1：推论推论2 2 2 2：如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵A A A A和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵E E E E作同样的作同样的初等初等行变换，那么当行变换，那么当A A A A变成单位矩阵变成单位矩阵E E E E 时，时，E E E E就变成就变成 。1 1 1 1A A A A 15.,)(,1 1 1 1A A A AE E E EE E E EA A A AE E E EA A A AA A A A 变成了变成了就就原来的原来的时时变成变成当把当把施行初等行变换施行初等行变换只需对分块矩阵只需对分块矩阵的逆矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵要求可逆矩阵.,1 1 1 1A A A AE E E EE E E EA A A AE E E EA A A A 就变成了就变成了原来的原来的时时变成变成当把当把施行初等列变换施行初等列变换或者对分块矩阵或者对分块矩阵即，即，()()1 1 1 1,A A A AE E E EE E E EA A A A，初等行变换初等行变换 1 1 1 1A A A AE E E EE E E EA A A A初等列变换初等列变换16(1)(1)(1)(1)AXBAXBAXBAXB=5.5.5.5.解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法)(B B B BA A A A)(1 1 1 1 B B B BA A A AE E E E 初等行变换初等行变换B B B BA A A AX X X X1 1 1 1 =B B B BA A A A(2)(2)(2)(2)XABXABXABXAB=A A A AB B B BE E E E1 1 1 1 初等列变换初等列变换BABABABAX X X X1 1 1 1 =)(B B B BA A A AT T T TT T T T)(1 1 1 1 B B B BA A A AE E E ET T T TT T T T 初等行变换初等行变换A A A AB B B BX X X X1 1 1 1 =B B B BA A A AX X X XT T T TT T T TT T T T)(1 1 1 1 =或者或者17经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例：例：例：例：0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 03 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 04 4 4 41 1 1 12 2 2 21 1 1 11 1 1 16.行阶梯形矩阵18经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0例例例例:0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 03 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 03 3 3 30 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 0 04 4 4 40 0 0 01 1 1 10 0 0 01 1 1 17.7.7.7.行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵19对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0例例例例:0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 03 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 03 3 3 30 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 0 04 4 4 40 0 0 01 1 1 10 0 0 01 1 1 1c c c cc c c cc c c cc c c cc c c cc c c cc c c cc c c cc c c c2 2 2 21 1 1 14 4 4 44 4 4 43 3 3 33 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 53 3 3 33 3 3 34 4 4 4 +0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 18.8.8.8.矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形202 ,.mnAkkAkkAk在矩阵 中 任取 行和 列 位于这些行列交叉处的个元素 不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式 称为矩阵定：的1阶子式义9.9.9.9.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 0,1()0,0().2 ArDrDArAR A+设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式且所有阶子式 如果存在的话 全等于那么称为矩阵 的最高阶定非零子式 数 称为规定零矩阵矩阵的秩的秩 记作并等于义：2110.10.10.10.秩的基本关系式秩的基本关系式秩的基本关系式秩的基本关系式1.0()min,m nR Amn2.()()TR AR A=3.,()()A BR AR B=若则4.()()R PAQR A=若P,Q都可逆，则max(),()(,5).()()R ABR ARRABR B+()A B即6.)()()RA BARR B+min(7.(),)()R AA RBRB8.0,()()m nn sR AnA BR B=+若则22 0().1m nnxAR An=元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩定理：(,)2.m nnxbAABA b=元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵定：的秩理11.11.11.11.线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理23齐齐齐齐次次次次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐非齐非齐非齐次次次次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解出通解出通解出通解12121212线性方程组的解法线性方程组的解法线性方程组的解法线性方程组的解法24二二.典型例题典型例题1.1.1.1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算例例1 1 1 1：设矩阵：设矩阵11111111,01010101A A A A=求与求与A A A A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为解：设所求矩阵为,ababababX X X Xcdcdcdcd=由由,AXXAAXXAAXXAAXXA=得得acbdaabacbdaabacbdaabacbdaabcdccdcdccdcdccdcdccd+=+0,0,0,0,cadcadcadcad=,0 0 0 0ababababX X X Xa a a a=其中其中a a a a，b b b b为实数为实数25例例2 2 2 2：设：设100100100100010,010,010,010,303303303303A A A A=12121212(2)(2)(4)(2)(2)(4)(2)(2)(4)(2)(2)(4)T T T TEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA +求求的行列式。的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：解：12121212(2)(2)(4)(2)(2)(4)(2)(2)(4)(2)(2)(4)T T T TEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA +1 1 1 1(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)T T T TEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA =+=+=+=+(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)T T T TEAEAEAEAEAEAEAEA=+=+=+=+(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)T T T TEAEAEAEAEAEAEAEA=+=+=+=+2 2 2 2(2)(2)(2)(2)EAEAEAEA=+=+=+=+2 2 2 23003003003000302025030202503020250302025305305305305=26例例3 3 3 3：设：设 4 4 4 4 阶方阵阶方阵()()234234234234234234234234,ABABABAB =其中其中 均为均为 4 4 4 4 维列向量，且已知行列式维列向量，且已知行列式234234234234,4,3,4,3,4,3,4,3,ABABABAB=求行列式求行列式.ABABABAB+分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：解：()234234234234,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2ABABABAB+=+=+=+=+()2342342342348,8,8,8,=+=+=+=+()()2342342342342342342342348(,)8(,)8(,)8(,)=+=+=+=+8()8()8()8()ABABABAB=+=+=+=[phone]=272.2.2.2.方阵的幂方阵的幂例例4 4 4 4：设：设1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111A A A A=求求.m m m mA A A A解解：（递推法）（递推法）22222222444444444 4 4 44 4 4 4424242424 4 4 44 4 4 4AEEAEEAEEAEE=3223223223222 2 2 2AA AAAA AAAA AAAA AA=所以，当所以，当 时时2 2 2 2mkmkmkmk=2 2 2 2mkmkmkmkAAAAAAAA=()2 2 2 2k k k kA A A A=()2 2 2 24 4 4 42 2 2 2k k k kE E E E=2 2 2 24 4 4 42 2 2 2k k k kE E E E=4 4 4 42 2 2 2m m m mE E E E=当当 时时21212121mkmkmkmk=+=+=+=[phone]mkmkmkmkAAAAAAAA+=2 2 2 2k k k kAAAAAAAA=2 2 2 24 4 4 42 2 2 2k k k kEAEAEAEA=1 1 1 12 2 2 2m m m mA A A A =28例例5 5 5 5：已知：已知100100100100100100100100,000,210,000,210,000,210,000,210001211001211001211001211APPB BPAPPB BPAPPB BPAPPB BP=求求 与与A A A A5 5 5 5.A A A A解：解：1 1 1 10 0 0 0 PPPPPPPP 存存 在在1 1 1 1APBPAPBPAPBPAPBP =()()21121211212112121121APBPPBPPB PAPBPPBPPB PAPBPPBPPB PAPBPPBPPB P=()()321131321131321131321131APB PPBPPB PAPB PPBPPB PAPB PPBPPB PAPB PPBPPB P=551551551551APB PAPB PAPB PAPB P =29又又2 2 2 2100100100100000,000,000,000,001001001001B B B B=3 3 3 3100100100100000000000000001001001001BBBBBBBB=5 5 5 5BBBBBBBB=5511551155115511APB PPBPAAPB PPBPAAPB PPBPAAPB PPBPA=1 1 1 1100100100100210210210210411411411411P P P P =又又5 5 5 5100100100100200200200200611611611611AAAAAAAA=30测试题测试题一、填空题一、填空题一、填空题一、填空题(每小题每小题每小题每小题4 4 4 4分，共分，共分，共分，共24242424分分分分)1 1 1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解程组有无穷多解程组有无穷多解2 2 2 2齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 =+=+=+0 0 0 03 3 3 30 0 0 02 2 2 20 0 0 03 3 3 32 2 2 23 3 3 32 2 2 21 1 1 13 3 3 32 2 2 21 1 1 1x x x xkxkxkxkxx x x xx x x xx x x xx x x xkxkxkxkxx x x x只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是n n n nr r r rk k k k31的通解为的通解为的通解为的通解为则则则则设设设设0 0 0 0,1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 .3 3 3 3=AXAXAXAXA A A A4 4 4 4线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 =5 5 5 51 1 1 15 5 5 54 4 4 45 5 5 54 4 4 43 3 3 34 4 4 43 3 3 32 2 2 23 3 3 32 2 2 21 1 1 12 2 2 21 1 1 1a a a ax x x xx x x xa a a ax x x xx x x xa a a ax x x xx x x xa a a ax x x xx x x xa a a ax x x xx x x x有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是32的秩是的秩是的秩是的秩是矩阵矩阵矩阵矩阵 =0 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 02 2 2 22 2 2 21 1 1 10 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0.6 6 6 6A A A A二、计算题二、计算题二、计算题二、计算题()()=A A A AR R R RA A A AR R R RA A A A则则则则且秩且秩且秩且秩阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵为为为为设设设设,3 3 3 3,4 4 4 4.5 5 5 5.,.1 1 1 1确定矩阵的秩确定矩阵的秩确定矩阵的秩确定矩阵的秩值的范围值的范围值的范围值的范围讨论讨论讨论讨论 (第第第第1 1 1 1题每小题题每小题题每小题题每小题8 8 8 8分，共分，共分，共分，共16161616分；第分；第分；第分；第2 2 2 2题每题每题每题每小题小题小题小题9 9 9 9分，共分，共分，共分，共18181818分；第分；第分；第分；第3 3 3 3题题题题12121212分分分分)33()=+=+=+0 0 0 06 6 6 68 8 8 86 6 6 65 5 5 50 0 0 03 3 3 35 5 5 53 3 3 32 2 2 22 2 2 20 0 0 02 2 2 24 4 4 46 6 6 63 3 3 31 1 1 15 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x2 2 2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组求解下列线性方程组求解下列线性方程组()()3 3 3 34 4 4 42 2 2 22 2 2 23 3 3 3171717177 7 7 71 1 1 11 1 1 1101010104 4 4 44 4 4 41 1 1 11 1 1 13 3 3 32 2 2 21 1 1 16 6 6 6101010101 1 1 15 5 5 51 1 1 12 2 2 22 2 2 21 1 1 11 1 1 11 1 1 1 34 =+=+=[phone] 33 3 3 32 2 2 21 1 1 13 3 3 32 2 2 21 1 1 13 3 3 32 2 2 21 1 1 1bxbxbxbxx x x xx x x xx x x xaxaxaxaxx x x xx x x xaxaxaxaxx x x x有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解求其通解求其通解线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组取何值时取何值时取何值时取何值时,.3 3 3 3b b b ba a a a()=+=+=+=[phone] 93 3 3 31 1 1 12 2 2 23 3 3 32 2 2 23 3 3 36 6 6 62 2 2 23 3 3 32 2 2 23 3 3 33 3 3 32 2 2 25 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 14 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x x35三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,0 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 0 01 1 1 12 2 2 21 1 1 11 1 1 11 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1.2 2 2 2()().:,.1 1 1 11 1 1 1n n n nABABABABE E E EABABABABE E E EB B B BABAABAABAABAn n n nB B B BA A A A=+=秩秩秩秩秩秩秩秩证明证明证明证明且且且且阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵为两个为两个为两个为两个四、证明题四、证明题四、证明题四、证明题(每小题每小题每小题每小题8 8 8 8分，共分，共分，共分，共16161616分分分分)(每小题每小题每小题每小题7 7 7 7分，共分，共分，共分，共14141414分分分分)()().:,.2 2 2 2A A A AA A A AA A A An n n nm m m mA A A AT T T T秩秩秩秩秩秩秩秩证明证明证明证明实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵为为为为设设设设=36.2 2 2 2.6 6 6 6 ;1 1 1 1.5 5 5 5 ;0 0 0 0.4 4 4 4 ;.3 3 3 3 ;5 5 5 53 3 3 3.2 2 2 2 ;,.1 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1=+=a a a aa a a aa a a aa a a aa a a ak k k kn n n nr r r rn n n nr r r r零解零解零解零解一、一、一、一、;2 2 2 2,3 3 3 3;3 3 3 3,3 3 3 3)1 1 1 1(.1 1 1 1 秩为秩为秩为秩为时时时时当当当当秩为秩为秩为秩为时时时时当当当当二、二、二、二、=测试题答案.2 2 2 2,0 0 0 0;4 4 4 4,0 0 0 0)2 2 2 2(秩为秩为秩为秩为时时时时当当当当秩为秩为秩为秩为时时时时当当当当=;1 1 1 10 0 0 00 0 0 04 4 4 45 5 5 54 4 4 41 1 1 10 0 0 01 1 1 10 0 0 04 4 4 47 7 7 74 4 4 43 3 3 30 0 0 00 0 0 01 1 1 14 4 4 43 3 3 34 4 4 49 9 9 9)1 1 1 1(.2 2 2 23 3 3 32 2 2 21 1 1 1 +=k k k kk k k kk k k kX X X X37.1 1 1 10 0 0 05 5 5 52 2 2 20 0 0 05 5 5 51 1 1 10 0 0 01 1 1 15 5 5 51 1 1 10 0 0 05 5 5 57 7 7 70 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 13