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宜昌市协作体高二期中考试宜昌市协作体高二期中考试 数数 学学 考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教 A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章第二章第 3 节。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.直线和直线的位置关系为:230l xy:230mxyA.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 2.已知向量，且，则 x=(2,1,1)xa(1,4,2)babA.-3 B.-1 C.1 D.0 3.已知直线 l 的一个方向向量为，则直线 l 的倾斜角为(1,3)A.0 B.C.D.6434.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为 0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为 0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为 A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 5.如图，已知是边长为 1 的小正方形网格上不共线的三个格点，点 P 为平面 ABC 外一点，且,A B C，若，则,120AP ABAP AC|3|AP AOABAC|OP A.B.C.6 D.2 1037356.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为(2,3,0)a(0,3,4)babA.B.C.D.18 27,013 131827,0131327 360,25 2527360,25257.若平面内两条平行直线与间的距离为，则实数 a=1:(1)20lxay2:210laxy 3 55A.B.2 C.或 2 D.或 1 1128.在正三棱锥 P-ABC 中，且该三棱锥的各个顶点均在以 O 为球心的球面上，设点 O 到22ABPA平面 PAB 的距离为 m，到平面 ABC 的距离为 n，则 mnA.B.C.D.3 3332 33二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9.已知直线，则:2310lxy A.l 不过原点 B.l 在 x 轴上的截距为 12C.l 的斜率为 D.l 与坐标轴围成的三角形的面积为 2311210.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为 1,2,3 的三个号签；乙袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取 1 个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件 A：从甲袋中抽取号签 1；事件 B：从乙袋中抽取号签 5；事件 C：抽取的两个号签和为 4；事件 D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是 A.B.()2()P AP B1()6P C C.事件 C 与 D 互斥 D.事件 A 与事件 D 相互独立 11.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是 DD1，A1B1，CD，BC 的中点，则下列说法正确的有 A.E，F，G，H 四点共面 B.BD 与 EF 所成角的大小为 3C.在线段 BD 上存在点 M，使得 MC1平面 EFG D.在线段 A1B 上任取一点 N，三棱锥 N-EFG 的体积为定值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12.已知直线 l 的方程为，则坐标原点到直线 l 的距离为_.143xy13.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线 BD1与 CD 之间的距离为_.122ABAABC14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在 9 个小格子中填上 19 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了 4 个小格子中的准确数字，a,b,c,d,e 这 5 个数字未知，且 b,d 为偶数，则的概率为_.8cd 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点，B，C 关于原点 O 对称.(3,3)A(2,1)B（1）求 BC 边上的高所在直线的一般式方程；（2）已知过点 B 的直线 l 平分ABC 的面积，求直线 l 的方程.16.（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D 满足.AB a AC b1AA c12C DDC （1）用表示；,a b c1B D（2）若三棱锥 A1-ABC 的所有棱长均为 2，求及.1|B D 11AC B D 17.（本小题满分 15 分）在菱形 ABCD 中，AB=2，将菱形 ABCD 沿着 BD 翻折，得到三棱锥 A-BCD 如图所示，此时3BAD.6AC （1）求证：平面 ABD平面 BCD；（2）若点 E 是 CD 的中点，求直线 BE 与平面 ABC 所成角的正弦值.18.（本小题满分 17 分）为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和.假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响.2312（1）若乙回答了 4 个问题，求乙至少有 1 个回答正确的概率；（2）若甲、乙两人各回答了 3 个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多 2 个的概率；（3）假设某人连续 2 次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答 5 次被退出比赛的概率.19.（本小题满分 17 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，定义：过点，且方向向量为（）的直线的点方000(,)A xy z(,)a b cm0abc 向式方程为；过点，且法向量为（）的平面000 xxyyzzabc000(,)A xy z(,)a b cm2220abc的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中000()()()0a xxb yyc zz0axbyczd.000daxbycz（1）求经过，的直线的点方向式方程；(1,2,4)A(2,0,1)B（2）已知平面，平面，平面1:2310 xyz 1:240 xyz，若，证明：；1:(1)(23)(2)50mxmymz11l1l1/l（3）已 知 斜 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中，侧 面 ABB1A1所 在 平 面经 过 三 点，2)4,0(0,P()3,1,1Q ，侧面 BCC1B1所在平面的一般式方程为，侧面 ACC1A1所在平面的一般式方),512(,H240yz2程为，求平面 ABB1A1与平面 ACC1A1的夹角大小.2(21)10 xmymz 宜昌市协作体高二期中考试数学宜昌市协作体高二期中考试数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1.A 直线和直线的斜率分别为，-2，因为，所以.故:230l xy:230mxy121(2)12 lm选 A.2.C 因为，故，即.故选 C.ab2420 xa b1x 3.D 因为直线 l 的一个方向向量为，所以 l 的斜率，又，所以，因为(1,3)3k tanktan3，所以.故选 D.0,)34.C 设 摸 出 红 球 的 概 率 为，摸 出 白 球 的 概 率 为，摸 出 黑 球 的 概 率 为，所 以()P A()P B()P C，()()0.56P AP B，且，所以，()()0.68P AP C()()()1P AP BP C()1()()0.44P CP AP B，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为 0.76.故选 C.()1()()0.32P BP AP C()()0.76P BP C5.B 因为，所以，则AOABAC OPOAAPABACAP 2222|()OPABACAPABAC ，所以222211222233022323 33722APAB ACAB APAP AC .故选 B.|37OP 6.D 依题意，向量在向量上的投影向量为，所以投影ab2222229925|034034 a bbbbbb向量的坐标为.故选 D.927360,252525b7.A 当时，可得，由，则此时不符合题意；当时，可1a 1:20lx 2:210lxy 10121a 得 直 线 l1的 斜 率，直 线 l2的 斜 率，由，整 理 可 得，则111ka22ak 112aa 220aa，解得或，当时，可得，整理 l2的方程可(2)(1)0aa2a 12a 1:20lxy2:2210lxy 得，由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意：当时，可得102xy123 23 52451 11a ，整 理 l2的 方 程 可 得，由 两 平 行 直 线 之 间 的 距 离1:220lxy2:210lxy 210 xy，所以此时符合题意.综上可得.故选 A.|21|3 55141a 8.B 在正三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC，又 PA=1，所以，所以 PAPB，同2AB 222PAPBAB理可得 PAPC，PCPB，即 PA，PB，PC 两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则12m，所以，设平(1,0,0)A(0,1,0)B(0,0,1)C1 1 1,2 2 2O(1,1,0)AB (1,0,1)AC 1 1 1,2 2 2AO 面 ABC 的法向量为，则令，则，所以，则点 O 到平(,)x y zs0,0,ABxyACxz ss 1x 1yz(1,1,1)s面 ABC 的距离，所以.故选 B.|3|6AOnss3mn 9.ACD 因为，所以 l 不过原点，所以 A 正确；令，得，所以 l 在 x 轴上的203 010 0y 12x 截距为，所以 B 错误；把化为，所以 l 的斜率为，所以 C 正确；把122310 xy 3123yx32化为，所以直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为，所以 D 正确.2310 xy 11123xy111122312 故选 ACD.10.ABD 样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 18 种可能的结果，则，A 正确；事件 C61()183P A 31()186P B 包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共 3 种可能的结果，则，B 正确；事件 D 包含的样本点31()186P C 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15 种可能的结果，故事件 C 与 D 不互斥，C 错误：，由，得155()186P D 515()()()1836P ADP A P DA，D 相互独立，D 正确.故选 ABD.11.AD 以 A 为原点，以 AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，(0,0,0)A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)D1(2,0,2)B1(0,2,2)D(0,2,1)E(1,0,2)F，设，则，所 以(1,2,0)G(2,1,0)HAHxAEyAFzAG (2,1,0)(0,2,1)(1,0,2)(1,2,0)xyz解得故，即 E，F，G，H 四点共面，故 A 正确；因为，2,221,20,yzxzxy1,1,23,2xyz 1xyz(2,2,0)BD ，所以，所以 BD 与 EF 所成角的大小为，故 B(1,2,1)EF|63|cos,|2|86BD EFBD EFBDEF 6错 误；假 设 在 线 段BD 上 存 在 点M，符 合 题 意.设，则(01)BMBD ，若 MC1平面 EFG，则，.因为111(2,22,2)MCBCBMBCBD 10MCEF 10MCEG，所以此方程组无解，所以在线段 BD 上不存在点 M，使(1,2,1)EF (1,0,1)EG 24420,220,得 MC1平面 EFG，故 C 错误；因为，所以 A1B/EG，又平面 EFG，平1(2,0,2)2ABEG1AB EG 面 EFG，所以 A1B/平面 EFG，故 A1B 上的所有点到平面 EFG 的距离即为 B 到平面 EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段 A1B 上任取一点 N，三棱锥 N-EFG 的体积为定值，故 D 正确.故选AD.12.方法一：直线 l 过点与，记到直线 l 的距离为 d，则在AOB 中，125(4,0)A(0,3)B(0,0)O，而，所以.11|22AOBSOAOBAB d|4OA|3OB|5AB 125d 方法二：直线 l 的方程改写为，由点到直线的距离公式，原点到直线 l 的距离为34120 xy.22|3 04012|1253(4)13.以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴 建 立 空 间 直 线 坐 标 系 Axyz，则，2 551(2,1,2)BD ，设与 BD1，CD 都垂直的一个向量，且，(2,0,0)CD (0,1,0)BC (,)x y zn10BD n 0CDn取，则，所以，所以直线 BD1与 CD 之间的距离为.1z 0 x 2y (0,2,1)n|22 5|55BC nn 14.这个试验的等可能结果用下表表示：12a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5 b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3 d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 共有 12 种等可能的结果，其中的结果有 6 种，所以的概率为.8cd8cd6112215.解：（1）因为 B，C 关于原点 O 对称，所以，1 分(2,1)C，2 分 1(1)12(2)2BCk 所以 BC 边上高所在直线的斜率为，3 分 2因为，所以 BC 边上高所在直线的方程为，(3,3)A32(3)yx 所以 BC 边上高所在直线的一般式方程为.5 分 290 xy（2）因为过点 B 的直线 l 平分ABC 的面积，所以直线 l 经过边 AC 的中点，7 分 1,12又，所以直线 l 的方程.13 分(2,1)B1y 16.解：（1）因为，12G DDC 所以，2 分 1123C DC C 所以 1111123B DBCC DBCC C .7 分 12233ABACAA abc（2）因为三棱锥 A1-ABC 的所有棱长均为 2，所以，9 分|2abc3,a bb ca c，11 分 12222 a bb ca c 又 222212444|23933B D abcabca bb ca c .13 分 16882 134449333所以 2211225()333AC B D bcabcbca bb ca c .15 分 8101042233317.（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以BAD 与BCD 均为正三角形，3BAD取 BD 的中点 O，连结 OA，OC，则 OABD，2 分 因为 AB=2，所以，3OAOC因为，所以 OAOC，4 分 2226OAOCAC又，BD，平面 BCD，所以 OA平面 BCD.5 分 BDOCOOC 因为平面 ABD，所以平面 ABD平面 BCD.6 分 OA（2）解：由（1）可知，OA，OB，OC 两两垂直，以 O 为坐标原点，OB，OC，OA 所在直线分别为 x 轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，(0,0,3)A(1,0,0)B(0,3,0)C(1,0,0)D 因为 E 是 CD 的中点，所以，所以，13,022E(1,0,3)BA (1,3,0)BC 33,022BE 9 分 设为平面 ABC 的一个法向量，则(,)x y zm30,30,BAxzBCxy mm 令，得，所以.11 分 1y 3x 1z(3,1,1)m，13 分 3 33522cos,5|35BEBEBE mmm 设直线 BE 与平面 ABC 所成角为，则，所以直线 BE 与平面 ABC 所成角的正弦5sin|cos,|5BE m 值为.15 分 55 18.解：（1）记“乙至少有 1 个回答正确”为事件 M，所以，111115()1()11111222216P MP M 即乙至少有 1 个回答正确的概率是.5 分 1516（2）记“甲答对第 i 个问题”为事件，“乙答对第 i 个问题”为事件，则甲回答正确的(1,2,3)iA i(1,2,3)iB i 个数比乙回答正确的个数恰好多 2 个为事件 123123123123123123123123A A A B B BA A A B B BA A A B B BA A A B B B，123123123123A A A B B BA A A B B B所以 12312312312312312312312312312312312322()33P A A A B B BA A A B B BA A A B B BA A A B B BA A A B B BA A A B B B 2111221112221112221111111113223332223332223332，1122211122211111111111111223332223332226即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多 2 个的概率是.11 分 16（3）记“甲 答 对 第 i 个 问 题”为 事 件，则 甲 恰 好 回 答 5 次 被 退 出 比 赛 为 事 件(1,2,3,4,5)iA i 12345123A A A A AA A A，4512345A AA A A A A所以 123451234512345123451234512345()()()()P A A A A AA A A A AA A A A AP A A A A AP A A A A AP A A A A A，2222222222222221611111111333333333333333243即甲恰好回答 5 次被退出比赛的概率是.17 分 1624319.（1）解：由，得，直线 AB 的方向向量为，1 分(1,2,4)A(2,0,1)B(3,2,3)ABm 故直线 AB 的点方向式方程为.3 分 12421323323xyzxyz若答案写为：也正确（2）证明：由平面可知，平面的法向量为，4 分 1:2310 xyz 11(2,3,1)m由平面可知，平面的法向量为，5 分 1:240 xyz12(1,1,2)m设交线 l 的方向向量为，则，6 分 000(,)xy zn10mn20mn即令，解得，故，8 分 000000230,20,xyzxyz01z 01x 01y(1,1,1)n又平面的法向量为，1:(1)(23)(2)50mxmymz3(1,23,2)mmmm，9 分 3(1)1(23)1(2)10mmm mn因为，所以.10 分 1l1/l（3）解：设侧面 ABB1A1所在平面的法向量，11 分 21111(,)x y zn因平面经过三点，则，2(4,0,0)P(3,1,1)Q(1,5,2)H(1,1,1)PQ (5,5,2)PH 所以即令，解得，12 分 110,0,PQPHnn 1111110,5520,xyzxyz11x 11y 10z 故平面的法向量，21(1,1,0)n平面的法向量为，2:40yx2(0,1,1)n由（2）可求得平面与平面的交线的方向向量为，14 分 224(1,1,1)m平面的法向量为，2:2(21)10 xmymz 5(2,21)mmm由，45(1,1,1)(2,21)2210mmmm mm解得，则，15 分 1m 5(2,1,1)m所以，16 分 15151533cos,|226 nmn mnm故平面 ABB1A1与平面 ACC1A1夹角的大小为.17 分6
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