守恒定律2-1.pdf

一、功和功率一、功和功率一、功和功率一、功和功率功功是表示力对空间累积效应的物理量。力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。是表示力对空间累积效应的物理量。力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。2-1 功和能功和能(1)恒力的功恒力的功cosWFr=WF r=?MF?Mabr功是标量，没有方向，但有正负，由功是标量，没有方向，但有正负，由角的取值而定。在国际单位制中，功的单位是角的取值而定。在国际单位制中，功的单位是N m，叫做焦，叫做焦(J)。(2)变力的功变力的功物体在变力的作用下沿曲线从物体在变力的作用下沿曲线从a 运动到运动到b。采用。采用微元分割法微元分割法xyzOabMF?r?rr?d+r?d ddcosWFr=?求质点求质点M 在变力作用下，沿曲线轨迹由在变力作用下，沿曲线轨迹由a 运动到运动到b，变力作的总功。，变力作的总功。先求在曲线上一段元位移上的元功先求在曲线上一段元位移上的元功dW：F?r?dddWFr=?()dba LWFr=?在在ab一段上的总功一段上的总功F?在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzFF iF jF k=+?drdxidyjdzk=+?byzaxWF drF dxF dyF dz=+?12()bbiaaWF drFFFdr=+?12baiF drFdrFdr=+?12iWWW=+?若有几个力同时作用在质点上，合力所作的功等于个每个分力所作的功的代数和。若有几个力同时作用在质点上，合力所作的功等于个每个分力所作的功的代数和。cosFr1r2rdroAB功常用图示法来计算，图中曲线表示功常用图示法来计算，图中曲线表示Fcos 随路径变化的函数关系。随路径变化的函数关系。曲线下的面积等于变力所作功的代数值。曲线下的面积等于变力所作功的代数值。(3)功的计算功的计算(1)分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；(2)写出元功的表达式，选定积分变量；写出元功的表达式，选定积分变量；(3)确定积分限进行积分，求出总功。确定积分限进行积分，求出总功。例题：质量为例题：质量为2kg的质点在力的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。12Fti?解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量）12WFdrtvdt=?2000032120tdttdtmFadtvvttt=+=+=+=+=332340012 3369729Wtt dtt dttJ=XYXYR例题：如图，质点沿圆周运动，作用力例题：如图，质点沿圆周运动，作用力(k为常量为常量)，则在从，则在从O到到A(0，2R)的过程中，力作的功为多少？的过程中，力作的功为多少？)(j yi xkF?+=F?解：解：()()=+WFdrk xiyjdxidyj?i+drdxidyj?+=Rkydykxdx200022kR=力在单位时间内做的功，用力在单位时间内做的功，用P 表示。表示。功率是反映力做功快慢的物理量功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。0dlimdcoscostWWPttdrFFvdt=WPt=vFP?=平均功率瞬时功率平均功率瞬时功率(4)功率功率在国际单位制中，功率的单位是在国际单位制中，功率的单位是J/s，叫做瓦特，叫做瓦特(W)二、动能定理二、动能定理二、动能定理二、动能定理根据元功的定义根据元功的定义ABF?d r?1v?2v?cosdWF drFdr=?由牛顿第二定律及切向加速度定义由牛顿第二定律及切向加速度定义cosdvFmamdt=dvdrdWmdrmdvmvdvdtdt=1、质点的动能定理、质点的动能定理212kEm v=定义质点的动能为：定义质点的动能为：2122211122vvWm vdvm vm v=合外力作的总功为合外力作的总功为21kkkWEEE=质点动能定理：质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小；合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小；d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，它们之间仅仅是一个等量关系，功是一个过程量，而动能是一个状态量，它们之间仅仅是一个等量关系，功是动能改变的量度。功是动能改变的量度。b.动能的量值动能的量值与参考系有关与参考系有关；c.动能定理只动能定理只适用于惯性系适用于惯性系；注意注意例题：传送机通过滑道将长为例题：传送机通过滑道将长为L，质量为，质量为m的柔软匀质物体以初速的柔软匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动s距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可不计，物与台面间的摩擦系数为距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可不计，物与台面间的摩擦系数为，而且，而且sL，试计算物体的初速度，试计算物体的初速度v0。Lv0OxLs解：设任一时刻物体前端在台面上滑动距离为解：设任一时刻物体前端在台面上滑动距离为x，由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力，由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力fr是变化的。把变化的摩擦力的大小表示为是变化的。把变化的摩擦力的大小表示为mgfLxgxLmfLxrr=fxxfxx力总是指向平衡位置力总是指向平衡位置2、势能曲线取极大值的平衡点、势能曲线取极大值的平衡点0000fxxfxx力总是背离平衡位置力总是背离平衡位置稳定平衡点稳定平衡点ca,不稳定平衡点不稳定平衡点b()00pEx()00pExX()PExabc ABC1、系统的功能原理、系统的功能原理因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功和非保守内力的功。因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功和非保守内力的功。incWinncWininincncWWW=+011nnexinincnckikikiiWWWEEE=+=011nnexinkikikiiWWEEE=+=五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律动能定理动能定理011()nnexininnckikiciiWWEEW=+=011nnincpipipiiWEEE=011nnexinincnckikikiiWWWEEE=+=001111()()nnnnexinnckikipipiiiiiWWEEEE=+=+001111()()nnnnexinnckipikipiiiiiWWEEEE=+=+0001111 ;nnnnkipikipiiiiiEEEEEE=+=+令：令：0exinncWWEE+=有：有：动能和势能合称动能和势能合称机械能机械能，用，用E来表示来表示系统的功能原理系统的功能原理：当系统从状态：当系统从状态1变化到状态变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。当我们取系统作为研究对象时，可以使用功能原理解题，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。质点系的动能定理当我们取系统作为研究对象时，可以使用功能原理解题，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。质点系的动能定理011nnexinincnckikiiiWWWEE=+=011nnincpipiiiWEE=001111()()nnnnexinnckikipipiiiiiWWEEEE=+=+系统的功能原理系统的功能原理解解:摩擦力是变力，利用功的定义计算比较复杂，比较方便的方法是采用功能原理进行计算，选取物体和地球为一系统，在物体从摩擦力是变力，利用功的定义计算比较复杂，比较方便的方法是采用功能原理进行计算，选取物体和地球为一系统，在物体从A到到B的下滑过程中，不仅有重力的下滑过程中，不仅有重力G 的作用，而且还有摩擦力的作用，而且还有摩擦力f 和正压力和正压力N 的作用，的作用，N处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。例题：在图中，一个质量例题：在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4m，设物体在，设物体在B处的速度处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。ORABNGfv221212629.8442.42BAWEEmvmgRJJJ=负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4J则物体在则物体在A点时系统的能量点时系统的能量EA是系统的势能是系统的势能mgR，而在，而在B点时系统的能量点时系统的能量EB则是动能则是动能mv2/2，它们的差值就是摩擦力所作的功，由此，它们的差值就是摩擦力所作的功，由此 ORABNGfv例题：一雪橇从高度为例题：一雪橇从高度为50m 的山顶上点的山顶上点A沿冰道由静止下滑，山顶到山下的坡道长为沿冰道由静止下滑，山顶到山下的坡道长为500m，雪橇滑至山下点雪橇滑至山下点B后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处，若摩擦因数为处，若摩擦因数为0.050，求此雪橇沿水平冰道滑行的路程。，求此雪橇沿水平冰道滑行的路程。(点点B附近可视为连续弯曲的滑道，忽略空气阻力附近可视为连续弯曲的滑道，忽略空气阻力)已知：已知：,m500,050.0,m50=sh求求.s解：以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得解：以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得12fEEW=f cos Wmgsmgs=210EEmgh=又又NF?fF?P?sinmgcosmgh sNF?fF?P?sinPcosPh s5025 cos.mhss=代入已知数据有可得代入已知数据有可得cos =mgsmgsmgh2、机械能守恒定律、机械能守恒定律机械能守恒定律：机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。00pkpkEEEE+=+常量或常量或00()KKPPkpEEEEEE=即即或或条件：条件：0EE=定律：定律：0exinncWW+=例题：有一个质量略去的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点例题：有一个质量略去的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一个质量为，另一端系一个质量为m的小球，小球在环上无摩擦运动。设小球开始时静止于点的小球，小球在环上无摩擦运动。设小球开始时静止于点A，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R；当小球运动到圆环的底端点；当小球运动到圆环的底端点B时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解：取小球、弹簧和地球为一个系统，则小球与地球之间的重力，小球与弹簧之间的弹性力均为保守内力，而环对小球的支持力与解：取小球、弹簧和地球为一个系统，则小球与地球之间的重力，小球与弹簧之间的弹性力均为保守内力，而环对小球的支持力与P对弹簧的拉力虽为外力，但都不作功。所以系统机械能守恒。取对弹簧的拉力虽为外力，但都不作功。所以系统机械能守恒。取A为弹性势能的零点；为弹性势能的零点；B为重力势能的零点。为重力势能的零点。PABR30?ov2211(2sin30)22mvkRmgR+=?22vkRmgmR=PABR30?omgkRvv是小球在是小球在B点的速率，根据牛顿第二定律点的速率，根据牛顿第二定律53mgkR=由上两式可得由上两式可得