叶轮、叶片结构设计中交线的形成及算法.pdf

1999年 8月第 29卷第 4期山东工业大学学报JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol.29 No.4 Aug.1999叶轮、叶片结构设计中交线的形成及算法*李绍珍张爱平(山东工业大学机械工程学院济南 250061)摘要运用工程曲面的形成理论,对离心式风机叶轮的核心结构 叶片及前盘曲面进行了构形分析、数学建模;论证了两曲面的交线为空间曲线,其方程为一元四次隐函数关系式;采用牛顿迭代法,建立了两曲面求交的数学方程及程序框图.关键词叶轮;叶面;线中图分类号 T H4320 引言1:前盘;2:后盘;3:叶片图 1叶轮根据离心式风机的结构特点,曲面叶片是焊接到前盘和后盘之间(见图 1),并与轮轴成一定的角度.前盘是一回转曲面,后盘是一圆盘平面.因此,与叶轮轴线斜置的叶片与后盘的交线是一条平面曲线(叶型曲线),而与前盘的交线则是一条空间曲线(相贯线).该曲线绘制的准确与否,直接影响到曲面展开及板材下料的精确程度.最终影响叶片与前盘的吻合.按过去常规的手工绘图、展开、下料、弯曲成形后的叶片与前盘的吻合缝隙大.尽管采取了磨弧措施,但还是不如人意.不仅噪声、粉尘污染环境,而且影响风机的性能.要提高风机的质量,解决上述存在的问题,必须准确求出叶片与前盘的交线 相贯线1 3.1 叶片与前盘求交线求交线可以用图解法,也可以用解析法.如果是求两个标准曲面的交线是比较简单的,用传统的画法几何学方法或求解方程组的解析法均可解决.但是,由于风机叶片多为复杂收稿日期:1998-11-04*本文得到山东省自然科学基金资助.在华北水利水电学院(郑州,450045)工作.作者简介李绍珍,女,50岁,副教授,自 1976年至今一直从事工程图学教学及研究工作.1989年开始任硕士研究生副导师、导师.研究方向为“工程曲面”.共发表学术论文 15篇.1996年当选为中国工程图学学会理事、教育分会及科普分会委员.山东工程图学学会副秘书长.张爱平,女,讲师,硕士.研究方向:工程图学等.已发表论文多篇,现正进行立项课题研究.338山东工业大学学报1999年曲面,而叶片与前盘的相对位置又是多变的,所以使得求交线变得异常复杂.用图解法不仅费时、费力,而且不准确,因此必须用解析法进行求交.为求出交线,则必须在建立了前盘及叶片曲面数学模型之后,再选择一种既合理又能满足精度要求的方法进行求交.1.1 前盘曲面数学模型的建立图 2回转面由前面分析可知,为了提高叶轮工作效率,一般要用锥形前盘或弧形前盘,锥形前盘其曲面为锥面;弧形前盘的曲面为部分圆环面,二者均属回转曲面(见图2).在图 2所示的 yOz 坐标面上已知一曲线 L,它的方程为 f(y,z)=0.把这条曲线绕 Z轴旋转就可得到一个以 OZ 轴为旋转轴的回转曲面.设 M1(o,y1,z1)为曲线 L 上的任意一点,即 f(y1,z1)=0,当曲线 L 绕Z 轴旋转时,点 M1(o,y1,z1)也绕 Z 轴转到另一点 M(x,y,z),这时 z=z1保持不变,且点 M与 Z轴的距离_1恒等于|y1|.由于 _1=(x2+y2)1/2,y1=(x2+y2)1/2,由此得:f (x2+y2)1/2,z=0(1)式(1)即为所求回转曲面的方程.在该式中,如果 L上点的坐标 y 总是 y 0,则回转曲面方程应为:f(x2+y2)1/2,z=0.如果 L 上点的坐标 y总是 y 0,则回转曲面方程应为:f-(x2+y2)1/2,z=0.如果 L 上点的坐标 y 可正可负,则回转曲面方程应为:f=(x2+y2)1/2,z=0.同理若以 y轴为旋转轴,则曲面方程应为:f y,(x2+y2)1/2=0(2)(1)锥形前盘曲面方程设直线 L 为 yOz坐标面内的一条直线,其截距方程为:y/a+z/b=1将直线绕 Z轴旋转一周形成锥面,其方程为:(x2+y2)/a2=(z-b)2/b2(3)式(3)即为锥形前盘曲面的数学模型.(2)圆弧形前盘曲面的数学模型设在 yOz坐标面内有一圆弧,其圆心坐标为(yb,zb)、半径为 Rb,那么该圆弧所在圆的方程为:(y-yb)2+(z-zb)2=Rt2将其绕 Z 轴旋转一周得一圆环面,其方程为:(x2+y2)1/2-yb2+(z-zb)2=Rb2(4)(4)式即为圆弧形前盘曲面的数学模型.1.2 变截面非扭叶片数学模型的建立风机叶片根据不同的用途和设计要求,其结构和形状各异.为了保证叶片具有良好的气动性能,离心式风机叶片均为直纹曲面,但一般又以机翼型截面为主.该类叶片主要包第 4期李绍珍等:叶轮、叶片结构设计中交线的形成及算法339图 3 坐标系括:等截面非扭叶片、等截面扭曲叶片、变截面非扭叶片和变截面扭曲叶片四种4.针对四种叶片的优缺点,该种风机采用的是变截面非扭叶片,属于可展的单曲面.为建立该叶片的数学方程式,设立了图 3所示的坐标系5.动点 P(x,y,z)是叶片曲面上的任意一点,根据坐标变换原理,用齐次坐标矩阵的方式来表示动点 P沿各截面曲线对应点连结运动时的运动规律:x y z h=x(t)y(t)0 1T=1-z(1-_)/H(5)式中:为在不同高度处各截面叶型与底截面叶型线性相似比._ 为叶片上、下两底叶型曲线的线性相似比.H为叶片全高.T根据坐标变换原理应有:T=T1 T2 T3 T4(6)其意义是:开始 P点写在旋转坐标系 o1*x1*y1*z1*中.T1完成动点随坐标系 o1*x1*y1*z1*绕 z轴由开始位置旋转 角的旋转变换;T2:完成动点随坐标系 o1x1y1z1沿 z 轴平移变换;T3:完成动点随坐标系 o1x1y1z1的位似变换;T4:完成动点沿 x、y方向各平移 x0、y0的平移变换.将 T1,T2,T3,T4的各种变换代入式(6)中,整理后得:T=cos-sin 00 sin cos000010 x0y0z1(7)式中:为叶片相对于坐标系 o x y z转过的角度.将式(7)代入式(5)得:x y z h=x(t)y(t)0 1 cos-sin 00 sin cos000010 x0y0z1=1-z(1-_)/H(0 z H)(8)或写成参数方程的形式:x=x(t)cos+y(t)sin +x0y=-x(t)cos+y(t)cos+y0=1-z(1-_)/H(0 z H)(9)式中参数 ,H,x0,y0均由设计确定.公式(8)或(9)为变截面非扭叶片的数学模型.340山东工业大学学报1999年1.3 求两曲面立体的交线1.3.1 求解交线的三种情况根据曲面的不同种类,分别从三种情况进行讨论,以便选择合适的数学方法.(1)一般情况设两曲面 f1,f2的方程分别为:f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0它们的相贯线可以用以上两个方程联立起来表示.但变量比方程多一个,故在求解过程中,每一步都应附加一个约束方程 g(x,y,z)=0,该方程所表示的曲面可以是一系列约束曲面(平面、曲面或柱面等中的一个),所以求相贯线上点的坐标也就是求方程组:f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0g(x,y,z)=0(10)的解.连续改变约束曲面的位置或大小,求解方程组(10)就可以得到一系列相贯线上的点.显然,联立方程组是一个非线性方程组,可以用牛顿法等数值方法求解,但一般是比较困难的.(2)f1和 f2中有一个可以用参数形式表示如果曲面 f1和 f2有一个可以用参数形式表示,则可以得到一定的简化.如 f1和 f2有一个可以表示成:x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)(11)而另一曲面依然用隐式表示,即f(x,y,z)=0将式(11)分别代入上式及约束方程 g(x,y,z)=0中,得等价形式:F(u,v)=0G(u,v)=0(12)因此,求相贯线上点的坐标应先解方程组(12),然后将解出的根 u*,v*代回到(11)式中,就得到相贯线上点的坐标.(12)式也是非线性方程组,但往往可以转化为线性方程组求解.(3)f1和 f2有一个为直纹曲面如果 f1和 f2至少有一个是直纹曲面,则可以用求直线与曲面贯穿点的方法得到相贯线上点.直纹曲面是属于含一个参数的直线族所有点的轨迹,其参数方程为:r=(_)+t(_)(_1_2,0 t+)(13)其中,(_)是准线方程;(_)是通过准线各点母线上的单位向量;_ 为参数;t 为曲面上任意点 P沿素线到准线的有向线段的大小.如果令 (_)=f(_),g(_),h(_),(_)=t(_),m(_),n(_),则式(13)可写成第 4期李绍珍等:叶轮、叶片结构设计中交线的形成及算法341x=f(_)+tl(_)y=g(_)+tm(_)z=h(_)+tn(_)(_1_2,0 t+)(14)如果给定一个参数 _,而将 t 作为参数,则(14)式为直纹面上一条素线的参数方程.将其代入另一曲面的隐式方程 f(x,y,z)=0得:f(t)=0(15)连续改变 _ 值求解(15)式,将解出的根 t*代回到(14)式,就可以得到一系列相贯线上点的坐标.1.3.2 变截面非扭曲叶片与前盘求交由叶片曲面的构形分析可知,离心式风机叶片均属直纹曲面,因此这类问题是属于上面所述的第三种情况.下面就以较常用的变截面非扭曲叶片为例进行讨论.(1)一般求解方法将式(9)代入(4)式中得:x(t)cos+y(t)sin +x02+-x(t)sin +y(t)cos+y021/2-yb2+(z-zb)2=R2(16)式(16)即为变截面非扭叶片与圆环面求交所得相贯线的隐函数关系式.由式(16)可以看出,要想求解出 z 和 t 的显函数关系式,必须求解关于 z的一元四次方程.解一元四次方程是一个很繁杂的过程,况且该一元四次方程变量的系数又相当复杂,因此,用求解一元四次方程的方法来求解该叶片与圆环面前盘相贯线上点的坐标是非常困难的,而采用牛顿迭代法较合适.图 4 牛顿迭代法原理(2)牛顿迭代法牛顿迭代法是被广泛采用的一种计算方法,在求代数方程的根和解微分方程中,都起着重要的作用.求方程 f(x)=0之根,可变为求 y=f(x)的零点.我们所讨论的问题当然是指难以求得精确根的方程而言,因而只能考虑求近似根.为求得近似根,可以在曲线 y=f(x)上取相当靠近零点 T 的一点(x0,y0).如图 4所示,过该点的切线方程为:y-y0=f(x0)(x-x0)其中,y0=f(x0).令 y=0,解得:x1=x0-f(x0)/f(x0)这实际上就是根 T 的第一次近似值.再以曲线 y=f(x)上的点(x1,y1)作切线,其方程为:y-y1=f(x1)(x-x1)其中,y1=f(x1).再令 y=0,即得根 T 的第二次近似值:x2=x1-f(x1)/f(x1)继续下去便可得到牛顿迭代算式:342山东工业大学学报1999年xn+1=xn-f(xn)/f(xn)(17)由式(17)产生的数列是否收敛呢?定理设 T 是方程 f(x)=0的一个根,在 T 的某个领域|z-T|W 内,f(x)c2,且 f(x)0,f(x)不变号,则从该领域内离 T 相当近的一点 x0出发,由迭代算式(17)产生的数列 xn一定收敛,且收敛于方程之根 T,即 limxn=T.该定理的详细证明已略.在这里只是应用该定理来解决问题.在应用时应注意初始值x0应在小邻域|x-T|W 内取.下面就以变截面非扭曲叶片与圆环面前盘为例,利用牛顿迭代法来求解叶片与前盘的交线.由(16)式得:x(t)cos+y(t)sin +x02+-x(t)sin +y(t)cos+y02+yb2+(z-zb)2-R2=2yb(x(t)cos+y(t)sin +x0)2+(-x(t)sin +y(t)cos+y0)21/2两边同时平方得:x(t)cos+y(t)sin +x02+-x(t)sin +y(t)cos+y02+yb2+(z-zb)2-R22=4yb2 x(t)cos+y(t)sin +x02+-x(t)sin +y(t)cos+y02由 =1-z(1-_)/H,令(1-_)/H=m,得 =1-mz.将 =1-mz 代入上式得:x(t)(1-mz)cos+y(t)(1-mz)sin+x02+-x(t)(1-mz)sin +y(t)(1-mz)cos+y02+yb2+(z-zb)2-R22-4yb2 x(t)(1-mz)cos+y(t)(1-mz)sin +x02+-x(t)(1-mz)sin +y(t)(1-mz)cos+y02=0令 f(z)=x(t)(1-mz)cos+y(t)(1-mz)sin +x02+-x(t)(1-mz)sin +y(t)(1-mz)cos+y02+yb2+(z-zb)2-R22-4yb2 x(t)(1-mz)cos+y(t)(1-mz)sin +x02+-x(t)(1-mz)sin +y(t)(1-mz)cos+y02,得f(z)=0(19)现利用牛顿迭代法求解方程(19),令CC=x(t)(1-mz)cos+y(t)(1-mz)sin+x0DD=-x(t)(1-mz)sin +y(t)(1-mz)cos+y0EE=CC2+DD2+yb2+(z-zb)2-R2Z H=EE2-4yb2(CC2+DD2)=f(z)f(z)=Z H=2EE EE-4yb2(2CC CC+2DD DD)Z H=Z HP;CC=CCP;DD=DDP,则f(z)=Z HP=4EE(CC CCP+DD DDP+z-zb)-8yb2(CC CCP+DD DDP)现将 f(z)和 f(z)代入牛顿迭代算式 zn+1=zn-f(zn)/f(zn)中(zn为迭代 n次所得 z值,zn+1为迭代 n+1次所得 z值),判断:如果|zn+1-zn|X 时,zn+1即为所求素线与叶轮前盘贯穿点的 z 坐标,其中 X 为精度要求范围.现假设叶型曲线初始点(x0,y0,o)处对应的叶片曲面上的素线与前盘贯穿点的 z 坐标为 z0(z0=H是已知的),以 z0为初值求出与其相邻的相贯线上点的 z坐标 z1,再以 z1为初值求出下一相邻点的 z坐标 z2以此类推就可求出叶型曲线上任意点 x(t),y(t),0所对应的叶片曲面上的素线与前盘贯穿点的 z 坐标值,将 x(t),y(t),z代入式(16)中,相贯线上第 4期李绍珍等:叶轮、叶片结构设计中交线的形成及算法343图 5程序框图相应点的 x 和 y坐标值即可求得.图 5为利用牛顿迭代法求解叶片与前盘交线程序框图.其中:Z+10+KI为叶片叶型曲线上点的个数;Z(I,K)为第 I条素线迭代K次的结果;ZN(0)为第一条素线长;ZN(I)为在精度要求范围内的第 I+1条素线的长度;XN(I),YN(I)为第 I+1条素线与前盘贯穿点的 x 和 y 坐标.说明:由于叶片曲面上每条素线之间间距很小,则两相邻素线与前盘贯穿点的 z坐标相差不大,满足|z-zi-1|W,即满足牛顿迭代法的使用条件.2 结论上面我们详细讨论了叶片曲面与前盘曲面数学模型的建立,并在此基础上求出了叶片与前盘的交线.为了保证翼型曲线的精度和光顺,达到一阶导数、二阶导数连续,我们选择了三次样条曲线来进行曲线拟合(作图已略).为了从根本上解决这一问题,我们在为叶片曲面和前盘曲面定性并建立数学模型的基础上,根据不同情况,分别采用一般解联立方程组法和牛顿迭代法求出交线上一系列点的坐标.其结果不仅可以正确画出叶片展开图,为叶片下料提供准确的图形,而且整个计算过程为离心式风机的 CAD工作准备了条件.参考文献1李庆宜.通风机.北京:机械工业出版社,1983.262山东工学院.曲面制图.济南:山东科学技术出版社,1980.183复旦大学数学系曲线与曲面编写组编.曲线与曲面.北京:科学出版社,1977.364任伯森.离心式压缩机叶型的曲面原理.内燃机学报,1984,16(2):15樊炳辉.轴流式风机叶片几何构形分析与 CAD:硕士学位论文.济南:山东工业大学,1990344山东工业大学学报1999年FORMULATION AND ALGORITHM OF INTERSECTING LINEIN VANE WHEEL,VANE BLADE CONSTRUCTION DESIGNLi Shaozhen Zhang Aiping(Coll.of Mech.Eng.,Shandong Univ.of Tech.,Jinan 250061)ABSTRACT Using the formation principle of engineering curved surface,vane bladeand front tray,the core construction of contrifugal type windmill vane,are researched inconstruction analysis and mathematical medole building.It is proved that the intersectingline of the two curved surface is space curve,and the equation is quartic implicit functionwith one unknown.Using the Nouton s iterative method,the mathematical equation andprogram block diagram to solve the intersecting line of the two curved surface is built.KEY WORDS Impellers;Blade surface;Line(上接第 336页)STUDY ON REMOTE-FIELD EDDY CURRENTTESTING CIRCUITLiu Ying Liu DezhenWang ChunleiWei Xing(Dept.of Electron.Eng.,Shandong Univ.of Tech.Jinan,250061)ABSTRACT Describes the Remote-Field Eddy Current(RFEC)testing circuit whichis designed for cooperate with the highly sensitive RFEC probe.It is a series of RFECtesting circuits which are use the single chip microcontroller as the main clue,consist ofimpellent circuit,phase-locked amplifier circuit,signal processing circuit,etc.It has getgood testing results cooprate with the RFEC probe.KEY WORDS Electronic correlators;Phase detectors;Microprocessors