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四边形小结与复习(2)
四边形小结与复习(2)
四边形小结与复习（二）
教学目标
1、利用基本图形结构使本章内容系统化．
2、对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．3、总结常用添加辅助线的方法．
4、总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．教学重点和难点
重点是四边形与特殊四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．难点是提高数学思维能力．教学过程设计
一、按“特殊一般特殊”的认识规律，理解本章基本图形的形成、变化和发展过程
1、本章知识结构图，如图4-107说明：
（1）图4-107（a）中主要要求四边形的内角和及外角和；（2）图4-107（b）中要求n边形内角和及外角和；
（3）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（4）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（5）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；
（6）握中心对称及中心对称图形的概念、性质，会判断一个图形是否为中心对称图形，会画一个图形关于某点的对称图形．
2.常用的例习题所对应的基本图形的性质，有利于探求解题．如：（１）顺次连结四边形各边中点得到的图形，如图4-95．
（２）过平行四边形对角线交点的直线交对边或对边的延长线所得对应线段相等（图4-108）．
典型例题分析，总结解题方法和数学思想方法１、殊四边形的关系的进一步理解，渗透“集合”的思想．
例１．填出图4-109中各图形的名称，利用“集合”的思想分清各种四边形之间的关系，并做课本第190页第2题，以巩固各种四边形的判定方法．
２、四边形性质及中位线知识的应用，总结证明两条线段相等和添加辅助线的方法及分析综合法的使用．
例２：如图4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC为边作ACED，DC的延长线交EB于F．求证：EF=FB．分析：
（1）分解基本图形：“ABCD及对角线”，三个梯形．
（2）应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将EF，FB置于“证明两线段相等”所对应的基本图形中．
（3）总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应辅助线．在上一章总结方法的基础上，新添的常用方法有：
①特殊四边形的边、对角线的性质；②平行线间的距离相等；
③过三角形一边中点与第二边平行的直线必平分第三边；④过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰．说明：本题添加辅助线的方法为四大类.
(1)构造三角形中位线或梯形的中位线，如图4-110(b)～(e)；(2)构造全等三角形，如图4-110(f)～(h)；(3)构造等腰三角形，如图4-110(i)；
(4)构造以EB为对角线的平行四边形，如图4-110(j).3、总结梯形中常用辅助线，掌握化归思想.
梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时，还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-111(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-１１１(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到了一个三角形中.另外注意以下两点：(1)从图形变换及化归角度理解梯形中常用辅助线的作法及作用.①平移：图4-111(a)，(b)过上底一顶点作腰或一对角线的平行线；②旋转：图4-111(c)，(d)以一腰中点为旋转中心旋转△ADE和△EGC；③对称：图4-111(e)等腰梯形中作底边高.(2)其他几种作法.
①图4-111(e)一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线；②在图4-111(f)中，向上延长两腰构成三角形；③在图4-111(g)中，作梯形的中位线.
例3已知：如图4-112(a)，在梯形ABCD中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF是中位线，交BD于M，交AC于N.(1)求EF，MN的长及S梯形ABCD；
(2)观察MN与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形?
分析?本题可选用图4-112(b)，(c)中辅助线的作法，解得EF=，MN=2，S梯形ABCD=12，MN=(DC-AB).此结论对一般梯形同样适用.
4.利用变换的思想解题，培养方程、分类讨论的思想，并会用类比联想变更命题.例4矩形一边长为8，另一边长6，将矩形折叠，使两相对顶点重合.求折痕长.分析：
(1)用轴对称的性质理解折叠问题的基本关系.认清对应元素的位置、数量关系，此题中折痕应为矩形ABCD的对角线AC的中垂线EF(如图4-113).
(2)利用方程的思想解决问题.设CE=x,可证折痕EF长等于2OE，先由AE=EC，及勾股定理求出CE=，则EF=2OE=
(3)学完相似形会有更简捷的计算方法.例5已知：点M为正方形ABCD的边AB所在直线上任意一点(点B除外)，MNDM与ㄥABC的邻补角的平行线交于N.求证：DM=MN.分析：
(1)由于题目中没有明确给出点M的位置，需对M点在直线AB上的位置进行分类讨论.①点M在线段AB内，如图4-114(a)；②点M在线段AB的延长线上，如图4-114(b)；③点M在线段BA的延长线上，如图4-114(c)；④点M与A点重合，如图4-114(d).
(2)证明时，结合旋转及对称变换的思想添加辅助线，构造DM，MN所在的两个全等三角形.如图4-114(a)中，将△MBN沿MD方向平移到M与D重合，再将平移后的三角形绕D点顺时针旋转90°，B点落在边DA上P点处，使DP=MB，因此，如下添加辅助线：在AD上取一点P，使DP=BM，连接PM，证明△DPM△MBN.(3)类比联想，此题的结论对等边三角形是否成立?
M为等边三角形ABC的边BC所在直线上任意一点(C点除外)，作ㄥAMN=60°，射线MN与ㄥACB的邻补角的平分线交于N.求证：AM=MN.(如图4-115)5.利用运动的思维方法将问题推广.例6(1)已知：如图4-116(a)，从
ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线l作垂
线AA′，BB′，CC′DD′，垂足分别为A′，B′C′，D′，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.(2)将直线l平移运动，会出现几种不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的数量关系会怎样变化?并进行证明.分析：
(1)分解基本图形为平行四边形和直角梯形.从结论考虑，从形式上联想到梯形中位线定理，连结AC，BD交于O，并作OO′l′与O′.(2)总结证明线段和差、倍、分关系的常用方法.
(3)直线l向上平移运动，与ABCD的位置关系还会出现两种情况，如图4-116(b)，(c).(4)对于推广后的两种情况，可通过添加辅助线化归为利用图4-116(a)中结果，也可类比原题(a)中的方法，再次证明：
图4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；图4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、师生共同小结1.基本方法.
(1)利用基本图形结构使知识系统化；
(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：
(1)“特殊一般特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.四、作业
从课本第190页复习题四中选取.补充题：
1、已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.
2、如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.
3、已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).
4、已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分线都与BC相交，且两交点把BC三等分.若梯形周长为57cm.求梯形中位线长。5、(1)如图4-120，P为正方形，ABCD内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB的度数；(答：135°)(2)已知：如图4-121正方形ABCD内点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为.求此正方形的边长；(答：2)
(提示：(1)将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△CQB，将分散的三条线段PA，PB，PC集中到一起，连结PQ，在△PBQ和△PQC中计算角度.(2)如图4-121，用旋转的方法，把△ABE绕B点旋转60°，得到△FBG，可证△BEG为等边三角形.并将EA+EB+EC转化为FG+GE+EC，从而找到最小值为FC的长，利用列方程的方法求得边长为2.)
6、如图4-122，ABCD是矩形纸片，E为AB上一点，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F.问AB，BC的长各是多少?(答：2430)。
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第十九章四边形小结与复习
基础盘点
1.平行四边形是指.它的性质有.2.平行四边形的判断方法有：（1）；（2）（3）；（4）.
3.矩形是指.它的性质有、.
4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性质有、.
6.菱形的判定方法是、.7.只有一组对边平行的四边形叫做.两腰相等的梯形叫做，有一个角是直角的梯形叫做.
8.等腰梯形的性质有：等腰梯形的两腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的两条对角线.
9.等腰梯形的识别方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成图形的梯形是等腰梯形.
10.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的.三角形的中位线平行于，并且等于第三边的.
考点呈现
考点一求度数
例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）
0000
A.55B.35C.30D.25
解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.
点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质
例2如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）
A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAED解析：本题要求△ABE的周长，就是求AB+BE+EA的值，而题目所给的条件是□ABCD的AC，BD相交于点O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中点，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分线，则有BE=DE，
CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故选D．
2点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.
考点三正方形的性质
例3（1）如图3，在正方形ABCD中,点E，F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，
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∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.
(2)如图4，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.
(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图5，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).图3图4
图51）要证BE=CF，发现它们分别在△ABE和△BCF图中，由已知条件可以证出6解析：（
△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅助线，构造成（1）的形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.N
(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.
因为∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，
M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．
R(2)如图7,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点R，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，所以
图7
EF=BN,GH=AM，因为∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．
(3)①8．②4n．
点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.
考点四四边形的折叠
CFDD例4将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，
得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
OA.1B.2C.2D.3
ABAE解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD是一
个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由题意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
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AC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故应选D.
点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.
误区点拨
一、平行四边形的性质用错
12180例1如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.
0003180；②20；
其中一定正确的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
错解：选B、C、D.
剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以12180，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.
正解：选A.
例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边
DC长AB取值范围为（）
A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14
OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14
AB错解：选B.
剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.
正解：选A.
二、运用判定方法不准确
例3已知，如图3，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形.错解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因为E，F分别是AB、CD的中点，所以DF00011CD,BEAB，即22DF=BE.
在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.
正解：（1）同上.
（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF
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是平行四边形.
例4如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD的中点.
错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.
剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到
四边形FBED是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点.
正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．
又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．
跟踪训练
1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．152.如图2，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
12624A．B．C．D．不确定
5553.如图3，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到201*个小正方形，则需要操作的次数是()
A.669B.670C.671D.672
4.如图4，已知菱形ABCD的一个内角BAD80，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BEBO，则EOA=度．
5.如图5，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
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（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
参考答案
基础盘点：1.两组对边分别平行的四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分
2.（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.有一个角是直角的平行四边形四个内角都是直角、对角线相等4.有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形
5.一组邻边相等的平行四边形菱形是四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
6.四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形
8.相等两个角相等相等9.两腰相等两个角相等对角线轴对称10.中位线、第三边、一半
跟踪训练：1.C2.A3.B4.25
5.（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因为AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．证明略.
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