弯曲内力剪力和弯矩.doc

青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
课 题
§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化
§4.3 剪力和弯矩
需 2 课时
教 学
目 的
要 求
掌握弯曲变形的概念及梁的基本形式，求梁的任意截面处的剪力、弯矩

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重 点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩

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难 点
求解梁的任意截面处的剪力、弯矩

编写日期
年 月 日
教 学 内 容 与 教 学 过 程
提示与补充

1、 弯曲的概念及实例
2、 梁的基本形式
3、 剪力、弯矩
（1） 求支反力
（2） 截面法求内力
（3） 剪力与弯矩的符号规定
例4—1 ，例4—2，例4—3 。

第四章 弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲变形和平面弯曲变形的概念
杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向对称平面内受到力偶的作用时，杆件的轴线由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形是工程实际和日常生活中最常见的一种变形。例如房屋建筑楼面梁，受到楼面荷载、梁的自重和柱（或墙）的作用力，将发生弯曲变形（图9－1a、b），再如阳台的挑梁（图9－2a、b）、门窗过梁等构件也都是以弯曲变形为主。

工程中大多数梁的横截面都具有对称轴，例如图9－3为具有对称轴的各种截面形状。截面的对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称平面（图9－4）。如果梁上的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称平面内，且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线将在纵向对称平面内由直线弯成一条曲线。

线，这种弯曲变形又称为平面弯曲变形。平面弯曲是弯曲变形中最简单，也是最常见的。本章主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
§4.2 受弯杆件的简化
梁的结构形式很多，但按支座情况可以分为以下几种：
（1）简支梁 梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座（图9－5a）；
（2）外伸梁 其支座形式与简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外（图9－5b、c）；
（3）悬臂梁 梁的一端固定，而另一端是自由的（图9－5d）。

§4.3 剪力和弯矩
一、 梁的内力——剪力和弯矩
梁在外力作用下各横截面上的内力仍然用截面法来分析。
设一简支梁跨中受一集中力F的作用处于平衡状态，梁在集中力F和A、B处支座反力作用下产生平面弯曲变形，现求距A端x处m-m横截面上的内力（图9－6a）。

1． 计算支座反力
据静力平衡条件知：

，
2． 用截面法分析内力
假想将梁沿m-m截面分为左、右两半部分，由于整体平衡，所以左、右半部分也处于平衡。取左半部为研究对象（图9－6b），由平衡条件，（O为m-m截面的形心）可判断m-m截面上必存在两种内力素：
① 作用在纵向对称面内，与横截面相切的内力称为剪力。用FQ表示，常用单位是N或kN.
② 作用面与横截面垂直的内力偶矩称为弯矩。用M表示，常用单位为N·m或kN·m。
m-m截面上的剪力和弯矩，可利用左半部的平衡方程求得
，
，
如果取梁得右半部为研究对象（图9－6c），用同样方法亦可求得截面上的剪力和弯矩。但必须注意，分别以左半部和右半部为研究对象求出的剪力FQ和弯矩M数值是相等的，而方向和转向则是相反的，因为它们是作用力和反作用力的关系。
二、 剪力和弯矩的正负号
为使从左半部、右半部梁求得同一截面上的内力FQ和M具有相同的正负号，并由正负号反映变形的情况，对剪力和弯矩的正负号作如下规定：
（1）剪力的正负号 当截面上的剪力FQ使所考虑的研究对象有顺时针方向转动趋势时取正号；反之取负号（图9－7）。
（2）弯矩的正负号 截面上的弯矩使所考虑的研究对象产生向下凸的变形时为正；反之为负（图9－8）

三、 用截面法计算指定截面内力
用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤和方法如下：
1． 计算支座反力；
2． 用假想的截面在欲求内力处将梁切成左、右两部分，取其中一部分为研究对象；
3． 画研究对象的受力图。
画研究对象的受力图时，对于截面上未知的剪力和弯矩，均假设为正向。
4． 建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
计算出的内力值可能为正值或负值，当内力值为正值时，说明内力的实际方向与假设方向一致，内力为正剪力或正弯矩；当内力值为负值时，说明内力的实际方向与假设的方向相反，内力为负剪力或负弯矩。
[例4－1] 外伸梁受力如图9－9a所示，求1－1、2－2截面上的剪力和弯矩。

[解]（1）求支座反力
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB的方向向上。由平衡方程得
， －8kN×2m＋FYB×4m－2kN/m×2m×5m=0
kN
， FYA－8kN＋FYB－2kN/m×2m=0
kN
（2）求1－1截面的内力
将梁沿1－1截面切开，取左半部为研究对象，其受力图见图9－9b。则
， kN
， kN·m
（3）求2－2截面的内力
将梁沿2－2截面切开，取右半部为研究对象，其受力图见图9－9c。则
， FQ2－2kN/m×2m=0
， －M2－2kN/m×2m×1m=0
kN
kN·m（符号表示实际方向与假设方向相反）
四、 用简捷法计算剪力和弯矩
从截面法计算内力中可归纳出计算剪力和弯矩的规律。
1． 计算剪力的规律
截面上剪力的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和
外力的正负号：外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，取正号；反之取负号。可记为“顺转剪力正”。
2． 计算弯矩的规律
截面上弯矩的大小＝该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和
外力的正负号：将所求截面固定，另一端自由，外力使所考虑的梁段产生向下凸的变形时，取正号；反之取负号。可记为“下凸弯矩正”。
注意：以上两等式的左边都假设内力为正向，如果计算结果为正值，说明内力是正向的，如果计算结果是负值，说明内力是负向的。
[例4－2] 简支梁的受荷载情况如图9－10所示，求1－1、2－2、3－3、4－4截面的内力。

解（1）求支座反力。
取整体为研究对象，设支座反力FYA、FYB方向向上，由平衡方程
， FYB×8m－10kN/m×4m×6m＋40kN·m－20kN×2m=0
， －FYA×8m＋10kN/m×4m×2m＋40kN·m＋20kN×6m=0
得 kN
kN
（2）求各截面的内力
1－1截面：kN
M1=FYA×2m=30kN×2m=60kN·m
2－2截面：kN－20kN=10kN
M2=FA×2m=30kN×2m=60kN·m
3－3截面： kN－20kN=10kN
M3=FYA×4m－F×2m=30kN×4m－20kN×2m=80kN·m
4－4截面：m=－30kN ＋10kN/m×4m=10kN
M4=FYB×4m－q×4m×2m=30kN×4m －10kN/m×4m×2m =40kN·m