2014届辽宁师大附中高三上学期期中考试理科数学试题及答案.doc

辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试
数学理试题
一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1设集合A=,B=，则A∪B= （  ）
A． B．
C． D．
2复数等于 （ ）
A． B. C. D.
3下列命题错误的是 ( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．若为假命题，则均为假命题;
C．命题：存在,使得，则：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要条件
4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为(　　)
A. 24＋6π B. 24＋4π
C. 28＋6π D. 28＋4π
5已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，有下列
四个命题
①若，则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是 (　 　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形

7已知，是不共线的向量，＝，＝，λ，μ∈R，那么A、B、C
三点共线的充要条件为 (　　 )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
8已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a4＋a5＋a6＝，则cosS9的值为(　 　)
A. B. C．－ D．－
9 若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解, 则a的取值范围是 (　 　)
A. (－, ＋∞) B. [－, 1]
C. (1, ＋∞) D. (－∞, －]
10设定义在的函数同时满足以下条件：①；②；
③当时，。则 （ ）
A. B. C. D.
o
x
y
-2
11已知函数的定义域为，部分对应值如下表， 为的导函数，函数y=的图象如右图所示：
x
-2
0
4
f(x)
1
-1
1

若两正数、满足，则的取值范围是 （ ）[Ks5
A. B. C. D.
12已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、、成等比数列，则的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.)
13. 函数的定义域是 ．
14. .已知,，向量与垂直，则实数的值为 ．
15将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则最大值为__ ___.
16 如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且
．设是底面内一点,
定义,其中、、分别是三棱
锥、 三棱锥、三棱锥

的体积．若,且恒成立,
则正实数的最小值为____ ________

三解答题：(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)
17（本小题满分10分）
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

18（本小题满分12分）
已知向量，，
函数
(1) 当x∈时，求f(x)的最大值和最小值；
(2) 求f(x)的单调区间．

19（本小题满分12分）
已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝，a1a5＝，设bn＝nan(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

20（本小题满分12分）
（1） 已知函数g(x)＝＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
（2） 已知函数，求的单调区间；

21（本小题满分12分）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是
等腰直角三角形，
（1）求证：；
（2）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？
若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3） 求二面角的大小。

22（本小题满分12分）
已知：函数．
（1）求在[0，1]上的最大值；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若关于的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，
求实数的取值范围．

2013-2014学年度第一学期高三期中数学(理)试卷答案
辽师附中 田芳;
一选择题: DDBAD;CDDAC;BB.
二填空题: 13) ； 14) ； 15) 2； 16) 1；
三解答题: 17解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.
由正弦定理＝，可得＝.
所以a＝.-------------------------------------5分
(2)因为△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，
所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，
所以，a＋c＝2.---------------------------10分
18解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1.------------------3分
∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，
∴≤sin≤1，∴1≤2sin≤2，
于是2≤2sin＋1≤3，
∴f(x)的最大值是3，最小值是2.--------------6分
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，
同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得
f(x)的单调递减区间为，k∈Z.----------12分
19解：(1)由题意知：a2·a4＝a1·a5＝，
联立方程得：.∵q∈(0,1)，∴a2>a4，
∴解方程组得a2＝1，a4＝，∴q＝，a1＝2，
∴an＝2×()n－1＝()n－2.------------------5分
(2)由(1)知：an＝()n－2， 所以bn＝n()n－1.---------------------------------7分
∴Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋(n－1)·()n－2＋n()n－1，①
Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－2)()n－2＋(n－1)·()n－1＋n()n，②
∴①－②得：Sn＝()0＋()1＋()2＋…＋()n－2＋()n－1－n()n
＝－n()n，
∴Sn＝4－()n－2－n()n－1＝4－(n＋2)()n－1.---------------------12分
20解：(1)∵ g(x)＝x2＋2x＋alnx， 故 g′(x)＝2x＋2＋.---------------2分
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)内，
g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，--------------------4分
∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 .
∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，
∴a≤－4为所求．--------------------------------6分
（2）-----------8分
∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为-------9分
②当时，由
A
B
C
D
E
F
P
•
∴----------12分
21 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系------3分
设AB=1, 则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°. 从而.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.-----------------------6分
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,
于是·=·=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PM∥平面BCE. ………………………………9分
(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.
， 则
即
取y=1，则x=1，z=3。从而。
取平面ABD的一个法向量为。
。
故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………12分
22解： （1），令，得或（舍）
当时，，单调递增；当时，，单调递减，是函数在上的最大值---------------------3分
（2）对恒成立
若即，恒成立
由得或
设
依题意知或在上恒成立
都在上递增
或，即或------------------------------7分
（3）由知，
令，则
当时，，于是在上递增；当时，，于是在上递减，而，
即在上恰有两个不同实根等价于

解得----------12分
·9·