云南省芒市中学2011届高三数学教学质量检测.doc

云南省芒市中学2011届高三教学质量检测数 学 试 题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里．
1．设集合，．则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知实数，满足．则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．函数的图象在点处的切线方程是 （ ）
A． B． C． D．
6．某单位购买了10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名职工每人从中抽1张，至少有1人抽到甲票的概率是 （ ）
A． B． 　　 C． 　　 D．

7．的展开式中的系数是 （ ）
A． 　　 B． 　　 C．6 　　 D．7
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ）
　　A．2 　　 B．1 　　 C．0 　　D．
9．抛物线的焦点坐标为 （ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（2，0） D．（0，2）
10．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
① 若、，则 ② 若，，则
③ 若、，则 ④ 若，，则
其中真命题的序号是 （ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
11．已知焦点在轴上、中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为，若该椭圆的离心率，则椭圆的方程是 （ ）
A． B． C． D．
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题纸相应题目的横线上．
13．已知，，且，则的值为 ．
14．设双曲线（，）的离心率为，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的渐近线方程为　 　　 　 　　．
15．函数在区间上的最大值是 ．
16．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离是球直径的，且，，则球面的面积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，、、分别是角、、所对的边．已知．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求的值．

18．（本小题满分12分）
第18题
如图所示，在正三棱柱中，，，是的中点，在线段上且．
（I）证明：面；
（II）求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）
已知等比数列中，，，且公比．[:学|科|网Z|X|X|K]
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求的最大值及相应的值．

20．(本小题满分12分）（文科做前两问；理科全做．）
某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．

21．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．

22．（本小题满分12分）
已知（其中，为实数）．
（I）若在处取得极值为2，求、的值；
（II）若在区间上为减函数且，求的取值范围．

参考答案

17．解：
（I）由已知，可得：．
所以，或．　　　……………………………… 5分
（II）由得
由余弦定理得
当时，．
当时，．……………………………… 10分
18．解：
（I）证明：
已知是正三棱柱，取AC中点O、中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵，，
∴

∴
∴
于是，有、．
又因AB与AE相交，故面ABE．…………… 6分
（II）解：

所以，二面角的大小（亦可用传统方法解（略））． 12分
19．解：
(Ⅰ) 由，因为，所以．
而，所以 通项公式为：
……………………………… 6分
(Ⅱ)设，则．
所以，是首项为6，公差为的等差数列．

因为n是自然数，所以，或时， 最大，其最值是．
……………………………… 12分
20．解：（文科可以参考给分）
（I）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为，则．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………………… ４分
（II）对该盏灯来说，第1、2次都更换了灯棍的概率为；第一次未更换灯棍而第二次需要更换灯棍的概率为，故所求概率为：
……………………………… 8分
（III）的可能取值为0，1，2，3； 某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为．

P
0
1
2
3

∴的分布列为：
此分布为二项分布—B（3，0.6）．
∴ 　　 ……………… 12分

将代入椭圆方程得：．
不妨设、，
∴
∴，与题设矛盾．
所以，直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线的方程为．
设、，联立方程组，消y得：

由根与系数的关系知，从而．

所以，所求直线l的方程为或者．…………………………… 12分
22．解：
（I）由题意可知，所以，，．
即 解得：，
此时，．
经检验，在处有极小值，故，符合题意． ………………… 6分
（II）若在区间上为减函数，则对恒成立． 　　
即对恒成立．
∴ 即
解得：．∴的取值范围是．　　　　　　……………………………… 12分

- 9 -
专心 爱心 用心