不等式证明的八种方法.pdf

1 9 8 跨世纪2 0 0 8 年7 月第1 6 卷第7 期c m sc e n t u r y，J u n e2 0 0 8。V o l l 6，N o 7不等式证明的八种方法罗猛(旬阳县蜀河中学，陕西，旬阳，7 2 5 7 0 0)【摘要】不等式证明是高中数学最为常见的题型之一，本文讲述了其中8 种方法。【关键词】中学；数学；教学方法【中图分类号】c 6 3 2 4 7 9【文献标识码】B【文章编号】1 0 0 5 1 0 7 4(2 0 0 8)0 6 一0 1 9 8 一0 2例l，设a o，b o，求证：()+(譬)a 寺+b()+(等)一a 手-b=岩+去=一石一石：(五=固堑固劫故()+(譬)a 号+b DaZ；庠、，(鲁)手+(譬)岩+老所以之i-2 铹5a 虿+b a+D(矗正)(皇二歪垃湎(五+石)垒掣：篮磐：掣+1 1所以()专+(导)a 专+b Da二的是作商比较只适用于两个正数比较大小。2综合法例2：。，b，。为互不相等的正数，且。b c：1，求证：上+士+上 矗+5+再证明：因为a b c=1，且a，b，c 为互不相等的正数。所以+：b c+a c+b c：坠塑+竺尘+aDCZZ坐竖 川i 瓦i+0 i 而+“i 豇_(基本不等式)：压+再+矗所以上+士+上 石+压+矗小结：利用综合法证明不等式时，注意基本不等式的应用及相应的技巧。3分析法例3：设a o，b o，2 c a+b，求证：c 一 c 2 一a b a c+、孑r 二磊证明：要证原不等式成立只要证一、石啄 a c+“_ 成立即证：Ia cI c 2 一a b也就是证：(a c)2 c 2 一a b也要证：a 2 2 a c 一a b即证：a 2+a b O；也就是证：a+b 2 c，显然成立 1 r -1 丫 1 r 1 r 丫r r r-1 r 1 ，-r r 1 1 丫r r r 1 1 丫1，_ 1 r 丫r r 广1 1 r 丫。r 丫2a n2 歹i这就是数学思想方法化归在求递推数列通项中应用的一个很好的例子。例2：己知当x O，1 时，不等式x 2 c o c 0 一x(1 一x)2 s i n o=O 恒成立，试求0 的取值范围。分析：用构造思想方法，设f=x 2 c o s 0 一x(1 一x)+(1 一x)2 s i n 0=(c o s 0+s i n O=1)x 2 一(1+2 s i n 0)x+s i n 0题设知黜：=三三出在条件(1)(2)下，对称轴x=磊面笔竿烹暑=万(o，1)只要 O，即s i f l 2e 1 2(3)联立(1)(2)(3)就可解出结果。用构造甬数的数学思想方法，问题迎刃而解。构造反例可以加快解题速度，尤其是否定有关命题时效果更佳。本文根据高中新课程标准的要求，实施素质教育，有效激发数学热情，全面认识数学价值，通过介绍数学史来渗透数学文化教育，渗透数学思想方法，培养正确的世界观、完善认知结构，培养数学创新意识论证了渗透数学文化教育在高中数学教学中的必要性。从而使学生体验到学习数学的自信和成就感，培养了学生的科学态度和科学意识，创新思维和创造能力。4参考文献l张顺燕数学的思想、方法和应用 M 北京：北京大学出版社2 0 0 32朱哲张。维忠一节基于数学史的教学课例 J 中学数学教与学，2 0 0 4(7)：5 6 5 8 跨世纪2 0 0 8 年7 月第1 6 卷第7 期c r o s sc t u r y，J u n e2 0 0 8，V o l l 6，N o 71 9 9 故原不等式c 一7=面 a l求证：a，b，c，d 中至少有一个为负数。证明：假设a，b，c，d 都为非负数，由a+b=c+d=l，a、b、c、d o，1 从而a c i 生#，b d 丽蔓掣所以a c+b d 坐鱼#型：1这与已知a c+b d 1 矛盾所以a，b，c，d 中至少有一个为负数小结：用反证法证明时，推出的矛盾可以是多种多样的，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理矛盾，需要注意的是推出的矛盾必须是明显的。5换元法例5：已知x，y R，且x 2+y 2 l，求证Ix 2+2 x y y 2I 挖证明：设x=r c o s o，y=r 8 i n o，r I 1，则x 2+2 x y y 2I=r 2c 0 8 2 0+2 c o s o 吕i n e 一8 i n 2 e I=r 2c 2 0+s i l l 2 0 I=厨|B i I l(2 0+詈)卜厄小结：换元法中常用的有三角换元，利用正余弦函数的有界性进行证明。6放缩法例6：证明：+古+孝+2(n N 宰)证明：k N 木，2 k n，有1ll1F 可不可2 酉一i所以古+砉+当+，+(一)+(一)+(击一)=1+(1 一。j 一)=2 一一 2所以原不等式成立小结：利用放缩法证明不等式时，常用的放缩方法有增项，减项，利用分式性质、不等式性质等，但注意放缩时要适度。7判别式法例7：设a，b，c R，证明：a 2+b 2+3 b(a+b+c)O并指出等号何时成立。证明：左边整理成关于a 二次式，f(a)=a 2+(c+3 b)a+c 2+3 b 2+3 b c贝9=(c+3 b)2 4(c 2+3 b 2+3 b c)=3(b+c)2 O所以有：f(a)0 成立，即原不等式成立。当=O 时等号成立，即b+c=0 时，这时f(a)=a 2+a c+c 2+3 a b=a 2+2 a b+b 2=(a+b)2=O所以：a=一b=c 时，等号成立。8 柯西不等式(a；+a；+a：)(b：+b；+b：)(a，b。+a 2 b 2+a n b。)2其中：a i，b。R，i：l，2，n，取等号的条件为：生：皇生：a 1叱一生一a“例8：已知a b，c 为正数，且a+b+c=1，求证：a 2+b 2+c 2 土3证明：因为：(1 2+1 2+1 2)(a 2“2+c 2)(a+b+c)2=1所以：a 2“2+c 2 例9：已知a，b 为正数，且a+b=l，求证：a+b+2证明：因为：(1 a+l b+)2(1 2+l2)(a+b+)且a“=l引孵+乒再2 4即：丹+再Q小结：利用柯西不等式进行证明时，注意一定要配凑成公式中所需要的形式，然后再利用公式。不等式证明的八种方法不等式证明的八种方法作者：罗猛作者单位：旬阳县蜀河中学,陕西,旬阳,725700刊名：跨世纪（学术版）英文刊名：CROSS CENTURY年，卷(期)：2008，16(7)被引用次数：0次 相似文献(10条)相似文献(10条)1.期刊论文 彭艳贵.Peng Yan-gui 中学数学教师数学教学观的现状调查研究-鞍山师范学院学报2007,9(6)中学数学教师是数学教学的实践者,他们的数学教学观直接影响看中学数学教学的质量.研究发现,中学数学教师数学教学观总体上来说还是比较符合我国数学教学的发展的,但是在调查中也看到还有一少部分教师的数学教学观需要完善.2.期刊论文 郇中丹.HUAN Zhong-dan 对提高中学数学教师数学修养的思考和尝试-数学教育学报2006,15(1)提高中学数学教师的数学修养在塑造人的过程中具有不可替代的作用.在实际调查中我们发现:一方面,教师们对提高自身数学修养水平的热情很高;另一方面,在涉及到具体数学知识时,教师们又往往把自己的眼光仅局限在个人所讲授或熟悉的具体中学课程中,而对关系较远的内容则倾向于采取回避和应付的态度.提高教师自身的数学修养是解决目前数学教育中种种弊端的关键.在实际教学中可采用如下方法加强数学教育中数学类课程:(1)加强对数学内容的数学思想和方法论的讲解;(2)加强数学计算和论证的训练;(3)加强与中学数学课程的结合.3.期刊论文 武建春 中学数学教育中培养数学直觉的途径-内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(10)中学数学教育中培养数学直觉的途径是:培养良好个性,促进直觉发展;展示知识发生过程,启发直观力;运用审美方法,开启数学直觉;提高归纳、类比能力,引导大胆猜想;发展发散思维,促进直觉力的提高;建构智力图像,提高整体思维能力.4.期刊论文 岑燕斌.王珏琴.王荣方.刘文武.CEN Yan-bin.WANG Jue-qing.WANG Rong-fang.LIU Wen-wu 民族地区中学问题探究与自主创新数学教学模式的探索与实践研究报告-黔南民族师范学院学报2005,25(3)本课题研究以民族地区中学数学教学为切入点,运用文献检索法,自然实验法,对比观察法、问卷法、测验法等方法,在黔南民族地区中学开展本课题的理论研究与实验教学.经过三年时间取得了较为显著的成效,实验班的学生对数学学科的问题探究与自主创新能力有显著提高,初步构建了适合民族地区中学新的数学教学模式和教学体系,形成了有特色的创新性教学.5.期刊论文 岑燕斌.刘文武.王珏琴 数学创新教育中民族地区中学转化学困生的策略-黔南民族师范学院学报2004,24(6)简略地分析了民族地区中学数学学困生形成的原因,并对学困生进行了分类,着重从数学创新教育的角度提出了一新的转化策略.6.期刊论文 童行义 中学数学实验教学探讨-中国科教创新导刊2008,(5)提高中学生的数学素质,采用中学数学实验教学,是一个新的课题.本文就中学数学实验教学进行详细的阐述.7.期刊论文 鲍曼.张红伟.郭慧莹.马丽丽.BAO Man.ZHANG Hong-wei.GUO Hui-ying.MA Li-li 哈尔滨市私立中学学生数学成就动机调查研究-数学教育学报2008,17(1)从高一到高三学生的数学价值认可、数学自我效能感、表现目标、学习目标、内部归因都极其显著地下降;同普通班相比,优秀班学生的学习更倾向于学习目标,并且更加注重对所学数学内容的理解;理科学生在数学学习成就动机诸维度的得分要显著高于文科的学生;班主任不是数学老师班级的学生对数学价值的认可、数学成就内部归因都极其显著地高于班主任为数学老师班级的学生;男生对数学价值的认可和内化要明显高于女生,同时男生的数学自我效能感极其显著地高于女生.在私立中学的数学教学中要落实人本主义的教学理念,培养积极健康的数学学习心理,拓宽中学生的关联性知识和策略性知识.8.学位论文 史中美“做中学”及其数学课程设计和实施 2007 义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。全日制义务教育数学课程标准中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”为此，“做中学”成为初中数学课堂中一种有效的学习方式，要对“做中学”的理论基础、“做中学”与青少年认知发展规律、建构主义的关系进行深入研究，认识“做中学”的历史背景和内涵，结合多年教学实践力求探索出基于“做中学”的数学课程实施的原则与方法。在研究的过程中参阅各种文献资料，学习有关“做中学”的理论成果，并且将理论应用于实践，不断从中得到反馈，在教学中体会如何将“做中学”与“例中学”有机结合寻求更加行之有效的数学课堂实施模式。经过研究发现“做中学”与“例中学”在初中的数学课堂中各自发挥着不同的作用，“做中学”非常适合初中阶段学生的身心发展和认知水平，通过“做中学”可以调动学生的学习主动性，学生进行活动时需要学生自己去计划和探索，有助于提高他们独立思考、分析问题与解决问题的能力和动手操作能力，通过“做中学”获得的知识，理解得更深，记得更牢。但是，单纯或过分依靠“做中学”会使学生的活动流于形式，不利于基本知识和基本技能的掌握，不利于知识体系的构建，所以要将“做中学”与“例中学”有机结合，课堂中既能按学科知识的逻辑系统循序渐进地教学，使学生掌握系统的数学知识与技能，能在单位时间内培养更多的学生以提高教学的功效，能使学生简捷有效地掌握知识，又能激发学生学习兴趣，培养学生的创新精神和实践能力。我们的数学课堂应该是灵活的，在实施过程中应该根据不同教学内容，学生的不同特点进行，让“做中学”充分发挥其优势，使学生放开束缚，充分发挥其想象力，使之自主、积极地参与到数学活动中，让学生有机会亲历探索知识形成的过程，使他们在观察、提问、设想、动手实验、表达、交流的探究活动中，体验探究的过程，建构基础性的数学知识，获得初步的探究能力，从而促进学生的全面发展。9.期刊论文 李春兰.代钦.LI Chun-lan.Daiqin 民国时期中学混合数学教学法发展研究-内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）2007,36(6)在阐述中学混合数学教学法诞生的基础上,论述了民国时期混合数学教学法在中国的实施及其教学原则,讨论了混合教学法在实施过程中所引起的争论.10.期刊论文 何龙泉 上通现代数学下达中学课堂-数学高考压轴题的数学背景分析-中学数学研究2006,(4)新加坡数学教育家李秉彝先生认为数学教育要上通数学、下达课堂.的确,中学数学课堂上通数学并不容易,但数学高考题的编制却在十年前就做到了.本文链接：授权使用：顾建(wfwxkjzy)，授权号：acb27bce-e2bf-47d2-bc63-9e3f00863d59下载时间：2010年12月1日