电位移矢量D与有电介质时高斯定理的理解.pdf

收稿日期:2005-03-01基金项目:宝鸡文理学院重点建设课程(JG040006)作者简介:刘景世(1971-),男,陕西杨凌人,宝鸡文理学院物理系讲师.第23卷 第4期海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版Vol.23 No.42005年12月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYDec.2005文章编号:1004-1729(2005)04-0375-03电位移矢量D与有电介质时高斯定理的理解刘景世(宝鸡文理学院 物理系,陕西 宝鸡721007)摘 要:着重说明了电位移矢量D是一个辅助物理量,强调指出D与D的面积分的意义不同,以及D=0E0成立的条件,从而使初学者对D建立起一个全面和正确的认识.在此基础上,介绍利用有介质时的高斯定理解题的理论根据和特殊情况下高斯定理的应用,进一步加深对D的理解.关键词:电位移矢量;极化电荷;电场强度中图分类号:O 441.1 文献标识码:A高斯定理是静电学的基本定理之一,它揭示了静电场是有源场的特性.在一定条件下应用高斯定理可以简捷求解静电场的场强和电位移.但对高斯定理的理解和应用常常会出现一些问题.如高斯面上的D是否完全由高斯面内的自由电荷产生;如果q=0是否必有D=0;当D处处为零时,是否高斯面内一定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立;哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等.所以在教学中必须把用该定理求解电位移时所需要注意的问题向学生讲清楚,以使他们正确理解、应用.1D是一个辅助物理量,是为计算方便而引入的我们知道,真空中的高斯定理为sEdS=q01,2,在把这一定理应用到有电介质存在的电场中时,考虑到被任一闭合曲面包围的电荷不仅有自由电荷q0还有极化电荷q,所以电介质中的高斯定理应当是sEdS=q0+q0,式中q0和q 分别表示S面内自由电荷量和极化电荷量的代数和.由于极化电荷q不是事先给定的,为避开它,利用q=-sPdS得到s(0E+P)dS=q0,于是人为地引入了一个辅助量D=0E+P得到sDdS=q0,这就是电介质中的高斯定理.在它的数学表达式中已经没有q 的出现,这就给求解电介质中的电场问题提供了方便.从另一个角度看,电介质在外电场中极化,空间中任一点的电场强度E=E0+E,要求出E必须同时知道自由电荷q0和极化电荷q 的分布,但是极化电荷的分布又依赖于电极化强度P,P又取决于场强E(P=D-0E),于是出现了求解时的循环EEqPE,正是 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.为了克服这一困难,使我们在计算一开始就不出现q 而引入了D=0E+P这个辅助物理量,这样就能避开求q,P,E 的步骤.2D与D的面积分意义是不同的初次接触D时往往以为D只与自由电荷q0有关,理由是有介质时的高斯定理sDdS=q0中只有q0出现.但是这种看法并不正确,上式仅仅说明D对任一闭合曲面的电位移通量只与面内q0有关,并不意味着D本身只与q0有关.在D的定义式D=0E+P中,D是介质中的电位移矢量,它是由总电荷(q0与q)所决定的,D等于0E与P这两个矢量的矢量和,而这是2个完全不同的物理量之和,因此它是一个复合量,D不单纯描述电场也不单纯描述电介质的极化状态,而是既描述电场又描述介质的一个复合物理量,当然它不仅与自由电荷有关还与极化电荷有关.另外,我们再看看对于各向同性电介质中的点,有P=e0E,把它代入D的定义式后得到D=0E+P=0rE.初看起来似乎把电介质的极化电荷q 略去了,但事实上,因子r已经把q 的影响考虑进去了,可见D与q 有关.在各向异性电介质如石英晶体等中,P与E,D与E的方向一般并不相同,电极化因数e也不能只用一个数值来表示,上述等式D=0rE=E就失去意义,但D=0E+P仍旧适用,D仍旧与q 有关.3D=0E+P=E是普遍成立的,而D=0E0的成立是有条件的sDdS=q0和真空中的高斯定理sE0dS=q00相比较,初看起来好象D=0E0;对于包围带电金属球的均匀无限大电介质和充满平行板电容器内部的均匀电介质,D的大小分别为D=q04r2(在包围带电金属球的均匀无限大电介质中)和D=0(在充满平行板电容器内部的均匀电介质中).的确,以上2例中的D不但只与自由电荷有关,而且与自由电荷的场强E0的区别只在一个常系数0上,即D=0E0,似乎更“验证”了D=0E0的结论.然而,以上2例只是特例,上述等式D=0E0绝非一个普遍的结论.对此,文献2,3通过一系列反例说明:正是由于并非任何情况下都有D=0E0,才有必要引入D这个物理量,也正是这个原因,才使D的物理意义不能简单地阐明.D=0E0或者说D只与自由电荷有关的条件是:电介质均匀充满场不为零的空间,或均匀介质分区充满电场所在空间且分界面都是等位(势)面.4用有介质时的高斯定理求解对称性电场的理论根据文献4指出,高斯定理说明电场是有源场,并定量地给出了场源电荷与电通量的关系.但它既适用于静电场,也适用于运动电荷场和涡旋电场,要用它描述静电场,必须要有静电场环路定理来排除后两者;静电场环路定理定性地说明静电场是有势场,但它不能给出势的定量表示,要给出势的定量表示,又必须求助于高斯定理.矢量场的惟一性定理指出:求解矢量场必须知道矢量场在空间每一点的散度和旋度,及在边界上的法向分量,只用一个方程不容易求得正确的解.那么,为什么具有某种对称性的电场,仅应用高斯定理就可以求得惟一正确的解呢?文献5经过讨论指出:具有某种对称性的电场之所以可以只用一个方程求解,是因为对称性本身为我们提供了满足另一方程及边界条件的673海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2005年 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.“形式解”.否则,只用一个方程是不容易求得惟一正确的解的.因此,在使用sDdS=q0解决问题时,除了将D理解为空间矢量点函数外,对D的理解应拓宽加深.即:1)从物理意义上理解,用高斯定理描述静电场的性质是不完整的,因为它只反映了静电场的有源性;2)从数学意义上理解,在积分结果一定的情况下,被积函数并不是惟一确定的.只有当电场分布具有对称性,并选取了适当的高斯面时,D才能作为一常量从积分号内提出来,此时才能从sDdS=q0这个关系式中惟一地解出D.5灵活运用高斯定理解决问题众所周知,只有当电场分布具有对称性时才可能利用高斯定理求出D,因此,如何分析电场的对称性是能否熟练运用高斯定理求解的关键所在,文献6对此做了详细说明.在普通物理教学中已经证明,电位移通量与所选取的高斯面的形状无关,只与高斯面内的自由电荷有关,上述结论暗示高斯面的选取具有任意性.但是在解决实际问题时,高斯面的选取应遵从一般性原则,关于这一点,所有的标准教科书都做了介绍,在诸多文献中亦有论述,本文不再赘述.在此仅讨论2种特殊情况下高斯定理的应用.5.1高斯面上有电荷时介质中高斯定理的推广 在高斯定理中,电荷或者在曲面所包围的立体外,或者被曲面所包围.如果电荷分布在曲面上,那么E在该点是奇点(即函数E在该点的邻域无界).因此,E通量不能用通常的曲面积分表示.文献7,8将真空中的高斯定理推广得到了所谓的“广义高斯定理”:电场中任一闭合曲面的E通量等于该闭合曲面内电荷的代数和与该闭合曲面上分布的电荷的一半之和除以0.将此定理推广到有电介质的电场中时不难得出:电场中任一闭合曲面的D通量等于该闭合曲面内电荷的代数和与该闭合曲面上电荷的一半之和.5.2高斯定理在“不对称性电场”中的应用 当电场分布具有某一种对称性时,应用高斯定理可以使问题得到简化,这是学生头脑中已经建构的知识结构.当电场分布没有对称性时,需要学生把原有知识和新知识结合起来,通过新旧知识的重新组合,充分认识到不对称性在一定条件下可转化为对称性,然后使用高斯定理使问题得到简化.例如,在半径为R,体电荷密度为的均匀带电球体内部挖去半径为R 的一个小球,试讨论小球球心O 的电场分布情况.粗看起来,带电空腔的电荷分布是不对称的,电场分布没有对称性.但是我们可以将空腔看成是由电荷分布均匀的2个带电球体构成,即一个是(R,)的球体,另一个是(R,-)的球体,通过这种“补偿法”,将不对称的问题转化为对称问题,利用大脑中原有的认知结构(即利用高斯定理分别求出两球体在O 上的场强分布,再根据叠加原理求出O 的场强)把新旧问题联系起来,从而找到了解决问题的途径,达到了解决问题的目的.参考文献:1程守洙,江之永.普通物理学(第2册)M.北京:高等教育出版社,1998.34-36.2梁灿彬,秦光戎,梁竹健.电磁学M.北京:高等教育出版社,1995.20-24.3王忠亮,封小超.电磁学讨论M.成都:四川教育出版社,1988.143-147.4易薄藤,张德林.高斯定理、静电场环路定理的成立条件和物理内涵J.大学物理,1994,13(3).13-14.5吴云华.对称电场用高斯定理求解的理论根据J.淮南工学院学报,2000,9(1):3-4.(下转第382页)773 第4期 刘景世:电位移矢量D与有电介质时高斯定理的理解 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.10 Van VELDHUIZEN D A.Multi2objective evolutionary computation:Classifications,Analysis,and New InnovationD.Ohio:Air Force Institute of Technology,1999.11 FONSECA CM,FLEMINGPJ.An overviewof evolutionary algorithms in multi2objective optimizationJ.EvolutionaryComputation,1995,3(1):1-16.12 HORN J.Multi2criterion decision makingA.Handbook of Evolutionary ComputationC.Oxford:Oxford UniversityPress,1997.1-15.A Summary of Researches on Multi2ObjectiveEvolutionary AlgorithmY U Jian2wei(Department of Math,Baoji College of Arts and Science,Baoji721007,China)Abstract:This paper first introduces the basic framework,research history,general categories and somerelated researches of multi2objective evolutionary algorithms(MOEAs).Second,the paper discussed someimportant issues in using of evolutionary algorithms(EAs)in multi2objective optimization and some prob2lems needed to study in the future.Key words:multi2objective optimization;evolutionary algorithm;intelligent computation(上接第377页)6郑福昌.应用高斯定理时如何进行对称性分析J.大同高专学报,1997,11(4):87-89.7薛庆忠,刘金世.高斯定理的推广及其结论J.海南大学学报(自然科学版),1997,15(2):164-165.8苟长义,刘风华.高斯定理的拓广J.天津师范大学学报(自然科学版),2002,22(3):40-41.Understanding Electric Displacement VectorDandG auss Theorem in Electric MediumLIU Jing2shi(The Department of Physics,Baoji University of Arts and Science,Baoji721007,China)Abstract:This paper stressed on the fact that electric displacement vector is a supplementary physical ele2ment,focused on a difference betweenDandDsurface integral and on the condition ofD=0E0exist2ence,and made a comprehensive and correct understanding for beginner.Based on these discussions,thispaper introduced the theory of how to use Gauss Theorem to solve problem and how to use Gauss Theoremin special condition.Key words:electric displacement vector;polarization charge;electric field intensity283海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2005年 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.