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一、选择题
1．倒指数曲线y＝的图像为( )
【解析】 y＝ae，当a>0，b>0时，图像为A.
【答案】 AX |k | B| 1 . c|O |m
2．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观地判断两个变量之间的关系是否是线性相关关系；
③通过回归方程y＝bx＋a及其回归系数b，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 由线性回归分析的意义知①、②、③正确，④错误．
【答案】 C
3．幂函数曲线y＝xb，当b>1时的图像为( )
【解析】 当b>1时，图像为选项A，当0<b<1时为选项B，当b<0时为选项C，当b＝1时为选项D.
【答案】 A
4．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)
【解析】 由相关系数性质知，B、C正确．A正确，因为拟合函数不是唯一的．D错，因为相关系数|r|≤1.
【答案】 D
5．可以对下列数据x、y之间的关系进行拟合的函数( )
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
2.69
3
3.38
3.6
3.8
4
4.08
4.2
4.3
A.y＝2＋x B．y＝2ex
C．y＝2e D．y＝2＋ln x
【解析】 ∵y＝2e为减函数，∴选项C错．
又∵y＝2ex的增长速度极快，∴选项B错误．由增长速度可知A错，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．x，y的取值如下表：
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
y
0.26
0.35
0.51
0.71
1.1
1.41
2.05
则x，y之间的关系可选用函数________进行拟合．
【解析】 由x与y值的对应关系可知：该函数应为指数函数，由其近似值可知y＝2x较合适．
【答案】 y＝2x
7．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率为________．
【解析】 将表中数据代入公式，可得
b＝≈0.880 9. xKb 1. Co m
【答案】 0.880 9
8．下列说法
①当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系；
②把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法；
③当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系；
④当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
其中正确的序号为________．
【解析】 此题考查解决线性相关问题的基本思路，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系，只是要通过适当的变换使其转化为线性相关问题，用线性回归分析问题来解决．因此②③④正确，①错误．
【答案】 ②③④
三、解答题
9．某种书每册的成本费y元与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的回归方程．
【解】 把置换成z，则有z＝，从而z与y的数据为：
x
1
0.5
0.333
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
∴有＝(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1
＝(10.15＋5.52＋4.08＋2.85＋2.11＋1.62＋1.41＋1.30＋1.21＋1.15)＝3.14，
z＝12＋0.52＋0.3332＋0.22＋0.12＋0.052＋0.0332＋0.022＋0.012＋0.0052≈1.415，
y＝10.152＋5.522＋4.082＋2.852＋2.112＋1.622＋1.412＋1.302＋1.212＋1.152＝171.803，新 课 标 第 一 网
ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋0.333×4.08＋0.2×2.85＋0.1×2.11＋0.05×1.62＋0.033×1.41＋0.02×1.30＋0.01×1.21＋0.005×1.15≈15.221，
∴r≈0.999 8.
∵|r|≈0.999 8接近于1，
∴z对y具有很强的线性相关关系．
∴b≈8.976，a≈1.12.
∴所求的z与y的回归方程为y＝8.976z＋1.12.
又∵z＝，∴y＝＋1.12.
10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x的回归方程．
【解】 画出散点图如下图1所示，观察可知y与x近似是反比例函数关系．
设y＝(k≠0)，令t＝，则y＝kt.
图1 图2
可得到y关于t的数据如下表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
画出散点图如图2所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：
b＝≈4.134 4，
a＝－b≈0.791 7，
所以y＝4.134 4t＋0.791 7，
所以y与x的回归方程是y＝t＋0.791 7
11．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数y，收集数据如下：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
(1)作出上述数据的散点图；
(2)试求回归方程．
【解】 (1)根据数据得散点图，如图所示．
(2)根据数的散点图可以发现样本点不是分布在某一条直线附近，而是分布在一条曲线附近．根据已学的函数知识，可以发现样本点分布在某一指数型函数y＝c1ec2x(c1>0，c2>0)附近，则将函数两边取对数得ln y＝c2x＋ln c1 ，则令u＝ln y，得u＝c2x＋ln c1，根据数据可得x和u的数据表：
x
1
2
3
4
5
6
u
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由上面x和u的数据表可得x和u的散点图，如下图所示．
从图中可以发现x和u之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型来拟合它们之间的关系．根据公式得到线性回归方程为：u＝1.112＋0.690 9x，即
ln y＝1.112＋0.690 9x，则得y＝e0.690 9x＋1.112.故我们可以利用y＝e0.690 9x＋1.112来描述天数x与繁殖个数y之间的关系.
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