大数定律及中心极限定理-应用题.doc

大数定律与中心极限定理 应用题
1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg，标准差为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？
解 设第只零件重为，，则，
设 ，则是这些零件的总重量
，
由中心极限定理
（1）=
==0.0787
(2) 设 汽车载重量为吨
=
查表得
计算得
因此汽车载重量不能低于2512公斤
2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，先从这批木柱中随机的取100根，求其中至少有30根短于3m的概率？
解 设是长度小于3m的木柱根数，则
由中心极限定理
=
==0.0062
3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。
解 设第只蛋糕的价格为，，则有分布律：

1
1.2
1.5

0.3
0.2
0．5
由此得

故
（1） 设是这一天的总收入，则

由中心极限定理
=
==0.0003
（2） 以记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕只数，于是

=
4.设某种商品第n天的价格为Yn，令Xn=Yn+1-Yn，Xn独立同分布，且Xn期望是0，方差是2，若该商品第一天价格是100，则第19天价格在96到104之间的概率是多少？
解：
，
，
，
……

所以
，
由中心极限定理，

=
=0.4972
5.（10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于0.05的概率不超过0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。
解
设至少要抛次；“次抛硬币中出现正面的次数”，
则， ，，正面出现的概率是；
“次抛硬币中出现正面的频率”，
于是 ，
（1）由切比雪夫不等式

由 ，得
即至少要抛10000次。
（2）由中心极限定理, ,
,
所以
=
得 ，查表 ，
由于单调增，
故 ，解得
因此至少要抛666次
6.根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为80%，服务台共接受了2500个电话预约，请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理估计实际入住的人数在1950～2050之间的概率。
解 设随机变量“2500个电话预约的客户实际入住的人数”，
则 ，，
（1）由切比雪夫不等式，得

（2）由中心极限定理，得，
=0.98758