高等数学导数与微分ppt资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率,一、,隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,第二章 导数与微分,一、隐函数的导数,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能,显化,(即写成,y,=,f,(,x,)的形式).,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(含导数 的方程),解:我们把方程两边分别对,x,求导数,注意,y=y,(,x,),即,遇到,y,时要将它看作,x,的函数,，得,所以,例1.,求由方程 确定的隐函数的导数 .,从而,上式右端分式中的,y,=,y,(,x,)是由方程 所确定的隐函数.,例2.,求由方程,在,x,=0,处的导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0 时,y,=0,故,确定的隐函数,例3.,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,另解：从椭圆方程解出,y=f,(,x,)，求在已知点的导数,。,例4.,解:应用隐函数的求导方法,得,于是,再对,x,求导,得,上式右端分式中的,y,=,y,(,x,)是由方程 所确定的隐函数.,求由方程 所确定的隐函数的二阶,导数,例5.,求,的导数,.,解:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,对数求导法,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,注意:,或者将 化为指数函数 再求导.,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对,x,求导,例6.,求,对,x,求导,先两边取对数,的导数,.,可以验证,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成,x,是,y,的函数),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,例7.,已知椭圆的参数方程为,求椭圆在,相应的点处的切线方程.,解:当 时,椭圆上的相应点 的坐标是:,曲线在 点的切线斜率为:,由直线的点斜式公式，,得椭圆在点 处的切线方程,化简后得,例如,，,且,求,已知,解:,解:,注意:,再例，,求,例8.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小.,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即,t,=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,例9.,计算由摆线的参数方程,所确定的函数,y=y,(,x,)的二阶导数.,解:,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例10.,当气球高度为 500 m,时,其速率为,求此时,观察员视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,且,h,=500 时,一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘、连除表示的函数,3.参数方程求导法,4.相关变化率问题,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,课堂练习,求,提示：,分别用对数求导法求,答案:,1.,设,2.,设,由方程,确定,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,求,解：,3,.,设,方程组两边同时对,t,求导,得,作业,P,111-112,1/,(2)(4),2,3/,(2),4/,(3),5/,(2),8/,(3),9/,(2),*,设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对,t,求导,得,故,试求当容器内水,*,有一底半径为,R,cm,高为,h,cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻,t,容器内水面高度为,x,水的,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,