已知数列的递推公式求通项.doc

已知数列的递推公式，求通项公式的方法

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题的求解。
一、 递推式为： 及(为常数，)，求．
例1 已知数列满足，而且，求.
解：是首项为1，公差为2的等差数列，
,
即.
例2 已知数列满足，而且，求.
解：是常数，
是首项为2，公比为的等比数列，

二、 递推式为，求．
思路：先将该递推式变形为，只要是可求和的，就可以由以n=1,2,…,(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求得。
例3 已知数列中，满足，，求.
解：由已知可知，
令n=1，2，…，（n -1），代入后（n -1）个等式累加，即

，

.
三、 递推式为 (为常数)，求．
例4 已知数列中， ，对于有，求.
解法1（构造法）：由已知递推公式得，
两式相减，（这是手段之一）
因此数列是公比为3的等比数列，其首项为，
，
，
即
解法2：由上法得是公比为3的等比数列，于是有：
，，，…，
把n-1个等式累加得

解法3（构造法）：设递推式可以化为，
即为， ,
于是得（这是手段之二）
因此数列是公比为3的等比数列，其首项为

解法4：

四、 递推式为 (为常数)，求．
思路：对于递推式为，可两边同除以，得构造出辅助数列, ,得再用第三种类型求解即可.
例5 已知数列中， ，，求.
解：在的两边乘以得，
令 则 ，于是可得
（与例4解法一样）
,
五、 五、递推式为 ()，求．
思路：对该递推式先变形为求．只要的前n项积可求，可用累商法求得.
例6 已知数列中， ，，求通项.
解： ，
， ,…, .
把以上n-1个等式左右两边分别相乘，得，即 .
六、 递推式为 (为常数)，求．
思路：设可以变形为：
，
就是，则可从 解得，
于是是公比为的等比数列，进一步转化为第四种类型求解。
例7 已知数列中， ，，,求通项.
分析：
解：在两边减去，
得
是公比为，首项为的等比数列

令n=1，2，…，（n -1），代入后（n -1）个等式累加，得

七、递推式为 （为常数，且＞0，），求．
思路：由上式求时，先对上式两边取对数，即， 有，令，则
不妨设存在，使上式可变形为，
即，所以，
所以可变形为 ，

所以是以为首项，以为公比的等比数列。
例8 在数列中， ， , 求通项.
解：由已知，在递推关系两边取对数，
有
令 ，则，
所以，
所以是以为首项，
以2为公比的等比数列。
所以，
则，
所以

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