第83课时曲线与方程轨迹问题.doc

2016届高三一轮复习 班级： 姓名： 评价分:

83课时 曲线与方程，求轨迹方程
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习求轨迹方程的常用方法
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：解决求轨迹方程的常用方法
2.难点：相关点法求轨迹方程
三．【小测试】：

四．【问题导学】：
1．什么是方程的曲线？什么是曲线的方程？

五．【例题探究】：
题型一：直接法求轨迹方程
例1.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．

例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．

题型二:定义法求轨迹方程
例1.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．

例2.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，求顶点A的轨迹方程．

题型三:相关点法求轨迹方程
例1.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

例2.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)

六．【作业】：
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
2.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2 ＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为 (　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
5．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 (　　)
A. y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 (　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
7.动点P在直线x＝1上运动，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是 (　　)
A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线
8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为 (　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
9.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
10.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
11.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
12.已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．
13.已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为__________．
14.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________．
15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.则圆心P的轨迹方程为__________．
16.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是__________．
17.设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

18.已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
83课时 曲线与方程，求轨迹方程
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习求轨迹方程的常用方法
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：解决求轨迹方程的常用方法
2.难点：相关点法求轨迹方程
三．【小测试】：

四．【问题导学】：
1．什么是方程的曲线？什么是曲线的方程？

五．【例题探究】：
题型一：直接法求轨迹方程
例1.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．
解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，
由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．
∴|O1M|＝，又|O1A|＝，
∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
规律方法　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得
|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
整理得2＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝，
＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，
由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝＞0.
所以x＞0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．
题型二:定义法求轨迹方程
例1.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
规律方法　(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

例2.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2，
∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，
∴b＝，
∴轨迹方程为－＝1(x＞)．
题型三:相关点法求轨迹方程
例1.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)．
设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，
得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
规律方法　(1)一是本题的轨迹方程中，要求x＜－3，y＜0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．
(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．
例2.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
解析　依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，
G(x，y)，由三角形重心坐标关系可得
即代入＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
答案　C
六．【作业】：
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析　(1)由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
2.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
答案　D
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2 ＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
答案　A
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为 (　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，
∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．
答案　D
5．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 (　　)
A. y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案　B
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 (　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，
所以＋＝1，即x＋2y＝5，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案　A
7.动点P在直线x＝1上运动，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是 (　　)
A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线
解析　设Q(x，y)，P(1，y0)，
由题意知|OP|＝|OQ|，
且·＝0，

∴y0＝－代入①得x2＋y2＝1＋，
化简即y2＝1，∴y＝±1，表示两条平行直线，故选B.
答案　B
8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为 (　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析　设点P的坐标为(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案　B
9.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，
即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
得点P的轨迹方程为＋＝1.
答案　(1)A　(2)＋＝1
10.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析　(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
11.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案　y2＝4x
12.已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．
解析　法一　直接法．设A(x，y)，则D，
∴|CD|＝＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
法二　定义法．如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
|BE|＝10，则E(10，0)．
∴顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36，又A，B，C三点构成三角形，∴A点的纵坐标y≠0，故顶点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案　(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
13.已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为__________．
解析　根据垂径定理知：OP⊥PM，
所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分，
以OM为直径的圆的方程为
(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)，结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．
答案　(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
14.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________．
解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆．
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案　4π
15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.则圆心P的轨迹方程为__________．
解析　设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
答案　y2－x2＝1
16，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是__________．
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，
又P在椭圆上，则有＋＝1上，
即＋＝1.
答案　＋＝1
17.设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解　设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即
∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
18.已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.
(2)存在，根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).

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