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函数的解析式、定义域、值域与最值问题
函数三要素：解析式、定义域和值域
1、 函数解析式
把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式。它是用一个等式表示定义域与值域之间的一种对应关系，与所取的字母无关，如与为同一函数。
[注意] 表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
函数解析式的求法
常用方法有：①代入法；②待定系数法；③换元法或配方法；④方程组法；⑤赋值法
① 代入法
例：已知，则。
② 待定系数法
已知函数的类型，求解析式时，可根据类型设解析式，由已知条件求出待定系数。
例：已知二次函数满足求。
[例] 设二次函数满足且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求的解析式。
练习题：
1、 设二次函数满足且的两实根平方和为１０，图象经过点（０，３），求的解析式。
2、 已知，求一次函数的解析式。
3、 已知为一次函数，，且，求解析式。
4、 已知为二次函数，其图象过原点，且，求的解析式。
5、 已知函数，求。
6、 已知函数（为常数），且方程有两个实根为。求函数的解析式。
7、 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，。求的解析式。
③ 配凑法或换元法
配凑法：已知的解析式，要求时，可从的解析式中拼凑出，即用来表示，再将解析式两边的用代替即可。
换元法：令，再求出的解析式，然后用代替两边所有的即可。
[注意] 无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件是函数的值域且使的解析式有意义。
[例] 已知，求。
[例] 已知求
练习题：
1、求函数解析式：（1）（2）
2、已知，求。
3、已知，则的解析式可取为（　　）。
Ａ、　　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、
4、已知，求。
5、已知，求。

④方程组法
已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于及的方程组，解之即可得出。
[例] 函数满足求

练习题：
1、 已知，求。
2、 已知，求。
3、求函数解析式：满足关系式
4、已知，求。
5、已知求
⑤赋值法
将变量取特殊值，找出一般规律，求解析式。
方程组法实质上是一种特殊的赋值法。这种方法常常运用在求抽象函数的解析式中。
［例］若是定义在R上的函数，且，并且对于任意的实数总有，求的解析式。
解：令，则有
练习题：
1、设是定义在实数集R上的函数，满足，且对任意实数有求。
2、若函数的定义域为，且，求。
2、 函数定义域
定义域是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，如未加特别说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数的集合，当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。
求函数定义域的主要依据是：
①分式的分母不得为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于１；⑤三角函数中的正切函数余切函数
注意：（1）定义域是一个集合，必须用集合或区间来表示。
（2）由函数的解析式有意义来求定义域时，不能对解析式进行变形。
对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：
①的定义域为，指的是的取值范围，而不是的范围为，如的定义域为［１，２］，指的是中的的范围是。
②与联系的纽带是与的值域相同。
[例1] 求下列各函数的定义域：
（1） （2）
[例2] 若函数的的定义域是[-1，1]，求的定义域。
练习题：
1、函数的定义域是_________________，
函数的定义域是____________________，
函数的定义域是_____________________，
函数的定义域是________________，
函数的定义域是_____________________，
函数的定义域为___________________，
函数的定义域为__________________。
2、函数的定义域是（　）
Ａ、　　　　　Ｂ、
　　 Ｃ、　　　　　Ｄ、
3、函数的定义域是_____________。
4、设＝和的定义域依次为Ｍ和Ｎ，则（　）
Ａ、　　Ｂ、（－１，１）　Ｃ、　　Ｄ、
5、若函数的定义域是，求的定义域。
逆向思维：已知函数的定义域，求其参数的取值范围。
[例] 函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
解析：为了保证根号下面的式子恒大于或等于零，则，也可以说不等式的解集是R，当时，；当时，，故。
练习题：
1、当k为何值时，函数的定义域为全体实数。
2、已知函数的定义域为Ｒ，求实数m的取值范围。
3、若函数的定义域是一切实数，求的取值范围。
4、已知函数的定义域为Ｒ，求实数m的取值范围
5、已知函数的定义域为R,求实数的取值范围。

利用分类讨论的思想，求含有参数的解析式的定义域。
［例］设函数的定义域为［０，１］，求函数的定义域
［解］由　　　　　　即，　　
　　　　　　　　　　　　　　。
，
（１）当时，即时，
（２）当时，即时，
当时，的定义域为。
练习题：
1、已知函数的定义域是，且，求下列各函数的定义域：
（1） （2）； （3）
2、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
3、已知函数的定义域为，求函数的定义域。

3、 函数值域与最值
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。
下面为常见函数的值域：
一次函数的值域为R
二次函数当时值域是
当时值域为；
反比例函数的值域为；
指数函数且的值域为；
对数函数且的值域为Ｒ。
正、余弦函数的值域为［－１，１］，正、余切函数的值域为Ｒ。

求函数最值的常见方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的。
如函数的值域是，最大值是１６，无最小值。再如函数的值域但此函数无最大值，和最小值，只有在改变函数定义域后，如时，函数的最小值为２，可见定义域对函数的值域或最值的影响。
练习题：
1、值域为的函数是( )
A. B. C. D.
2、函数的值域是,则与的大小是( )
A. B. C. D. 无法确定的
3、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 有限多个 D. 无穷多个

常见求值域的方法：
① 观察法；②换元法；③判别式法；④配方法；⑤反表示法（反函数法）；
⑥数形结合与重要不等式法；⑦利用函数的有界性；⑧单调性。
① 观察法
如求函数的值域时，由及知，故所求的值域为。
求函数的值域。
② 换元法
运用代数式或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如均为常数，且的函数常用此法求解。
用换元法时要注意两点：
①“新元”的取值范围，即换元前后的等价性，如例（1）中，而不是看解析式有意义的取值范围。确定“新元”的取值范围，其实质是求值域。
②换元后的可操作性。如例（2）中，由令，，其中可取R，也可取还可取，都能保证，即保证换元前后的等价性。但，若取R或内的值，将无法直接去掉绝对值符号，故取较为合理。
[例] 求下列各函数的最值。
（1）； （2）
[解] （1）（换元法）令
（2）（用三角换元法）令
练习题：
1、 函数的值域是_________________；
函数的值域是__________________；
函数的值域是_______________；
函数的值域是_____________;
函数的值域是_______________；
函数的值域是________________；
3、已知,求的最值。
4、函数，其中，求函数的值域。
③判别式法
把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，形如不同时为零的值域常用此法求解。
[注意]①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式；③要注意二次方程中二次项的系数，只有二次项系数非零时，才能使用判别式。
[例]求函数的值域。
[解]观察函数式，可用判别式法将已知的函数式变形为
。
显然（用判别式之前，首先须讨论的系数）。将上式视作关于x的一元二次方程。
即上述关于x的一元二次方程有实根，所以

解这个不等式得
又函数的值域为。
练习题：
1、 求函数的值域。
2、 求函数的值域。
3、 求函数的值域。
4、 求函数的值域。
④配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
[例] 已知，求函数的值域。
练习题：
1、函数的最大值为__________。
2、求函数的值域。
3、已知,求函数的最值。
4、求函数的值域。

⑤反表示法（反函数法）
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
[例] 求函数的值域。
[解] 由得

解得得
另在上单调。故
练习题：
1、已知函数的反函数是,那么函数的定义域为___.
2、函数的值域是______；
函数的值域是____________;
函数的值域是____________。
3、求函数的值域。
⑥数形结合与重要不等式法
数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数与形结合的方法
[例]求函数的最小值。
[解]如图7-1，函数的几何意义为：平面内一点到两点和距离之和就是的值。由平几知识，找出B关于x轴对称点连交x轴于一点P为所求的点，最小值
重要不等式
利用基本不等式：。
用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等“如：利用求某些函数值域（最值）时应满足三个条件：①②为定值；③取等号条件三个条件缺一不可。
[例] 求下列函数的值域。
； （2）
[解] （1）当时，
当时，|y|==
当且仅当=，即时，等号成立。
原函数值域为
（2）原函数式化为，
当时，故有。
当且仅当，即，
即时等号成立。
当时，，
练习题：
1、求函数的最小值。
2、求的最大值。
3、求的值域。
4、对于每个实数,设是, 和三个函数中的最小值，则的最大值是（ ）
A. B. 3 C. D.
5、求函数的值域。
6、设，求函数的最小值。
7、求函数的值域。
8、函数的值域是（ ）
A. B. C. D.

⑦利用函数的有界性
形如等，因为，可解出的范围，从而求出y的范围，从而求出其值域或最值。

[例] 求函数的值域。
[例] 求函数的值域。
练习题：
1、 函数的值域是______________。
2、 函数的值域是______________。
3、 求的值域。
4、 求的值域。
⑧ 单调性法
利用函数单调性
对于常见的一次函数，二次函数，三角函数，指数函数，对数函数，以及型函数，可依据图象确定其单调性，然后求其最值。这里，着重介绍形如的函数。在不能用重要不等式的情况下（等号不成立），可考虑函数的单调性，当时，函数的单调减区间为，单调增区间为平时，大家把函数叫做对号函数（图象形如““）其分界点为，至于的情况，可根据函数的奇偶性加以解决。

练习题：
1、函数，时的值域是（ ）
A． B. C. D.
2、已知函数，
当时，的值域是______________；
当时，的值域是______________；
当时，的值域是______________。
2、函数的值域是________________________；
3、函数的值域是______________________；

4、综合应用
①关于恒成立问题的求解。
恒成立；
恒成立。
② 逆向思维，等价转化

练习题：
1、设集合,则下列关系中成立的是( )
A. B. C. D.
2、已知函数的值域为,求实数的值。
3、若函数的值域是，求实数的值。
4、函数的值域为，求实数的值。
5、已知在上的最小值是3，求的所有可能值。
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