求解物理极值问题数学方法小结.doc

高考物理中求解极值问题数学方法几例

一．引言
物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。
二．数学知识求解物理极值问题的几个例子
（一）利用求导的方法求极值
通过高等数学知识可知，如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f '(x0) =0, 则在x0处函数有极值。
例1：如图1所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？
解：由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图可知

图1
故其加速度为：

发现加速度是一个关于θ的函数，令

，（）
即
所以当时，加速度有最大值为：
（二）用图像法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。
例2：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。
t
0
20
V/m.s-1
解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm：画出其速度时间图象，如图2所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：

图2
即：
(三) 利用三角函数求极值
N
F
f
mg
θ
图3
例3：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含
有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F
可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到
与夹角有关的关系式再作分析。
解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，
即 ①
②
③
由联立①②③式解得：
,
其中, 所以
(四) 利用矢量求极值
矢量是物理学中常用的数学工具，有时使用矢量可以求出某些极值问题。F
F'
Φ
Φ
G
F
F
F''
F'''
Φ
对于例3，我们也可以用矢量知识求极值。
图4
图5
将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图4，F’与竖直方向的夹角为（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图5所示。只用当F与F’垂直时，即拉力与水平方向成角时，拉力F最小为
而
θ
v
mg
A
B
C
O
L
T
θ
α
故
(五) 利用不等式求极值
例5：一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻
绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，小球在运动至轻绳
达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最
大值？
图6
解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：
P=mg υcosα=mgυsinθ ①
小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：
②
解①②可得：
令y=cosθsinθ

根据基本不等式，可知：
当且仅当，y有最大值

结论：当时，y及功率P有最大值。
三．小结
以上求极值的方法是求解高考物理极值的常用方法。当然，除了以上方法还可以用配方法、函数法等方法求极值问题。在使用中，必须考虑实际问题，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，利用恰当的数学模型，使用合适而有效的方法，提高计算的效率。
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