概率论与数理统计 公式大全.doc

第1章 随机事件及其概率
1排列组合

2关系运算
A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
，
3几何概型
v （1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。
v （2）S是平面上的某个区域,面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。
v （3）S是空间上的某个立体,体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。
甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。
根据题意，这是一个几何概型问题，于是
解：
4加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
5减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P()=1- P(B)
6条件概率
事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为 。
7乘法公式
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB) [P(AB)>0]
8独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立. Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。
9伯努利概型
概率P(A)=p , 发P()=1-p=q，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。

第二章 随机变量及其分布
1离散型随机变量
P(X=xk)=pk，k=1,2,…， （1）， （2）
2连续型随机变量概率密度
(1) ;(2) 。
3分布函数

1 ； 2、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)£F(x2)；
3 ， ；
4 右连续性：
对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量，
二项分布
，
当时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q
泊松分布
或者P()：，，，
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
a≤x≤b
a≤x≤b
X~U(a，b)： 其他，
0， x<a，

1， x>b。

当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（）内的概率为。
指数分布

,

0, ,

   ,

x<0。

积分公式：
正态分布
X～N(m, s2);
(s越大，曲线越平坦，s越小，曲线越陡峭)
X～N(0, 1): ～N(0, 1)

X落在以m为中心，3s为半径的区间(m-3s, m +3s)内的概率相当大(0.9973),落在(m-3s, m +3s)以外的概率可以忽略不计

函数分布
离散型

连续型

FY (y) ＝P(Y£y)＝P(g(X) £y)＝

第三章 二维随机变量及其分布
联
合
分
布
离
散
型

Y
X
y1
y2
Y3
P(X=xi)
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）

x1
p11
p12
p13

x2
p21
p22
p23

X3
P31
P32
P33

P(Y=yj)

1

连
续
型

二维随机变量的本质
联
合
分
布
函
数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
（1） （2）F（x,y）分别对x和y是 减的
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于.
离散型与连续型的关系
边
缘
分
布
离散型
； 。
连续型

条
件
分
布
离散型

连续型
；
独
立
性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y) 充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
二维均匀分布
其中SD为区域D的面积，称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
若(X，Y)服从矩形区域a≤x ≤ b,c ≤ y ≤ d上的均匀分布，则(X，Y)的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为

二维正态分布
二维正态分布，（X，Y）～N（

可以推出 X～N（ 但若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。
函数分布
Z=X+Y

, 对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。
卷积公式:
M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）

设随机变量X,Y相互独立且分布函数分别为FX(x),FY(y)则M与N的分布函数分别为

分布
设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设
则

t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数 的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。
F分布
设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
第四章 随机变量的数字特征
一维随机变量的数字特征

离散型
连续型
期望(平均值)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)； E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
方差，标准差
，

（1） D(C)=0； D(aX)=a2D(X)； D(aX+b)= a2D(X)； D(X)=E(X2)-E2(X)
（2） D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。
矩
①k阶原点矩νk=E(Xk)=
②k阶中心矩
=， k=1,2, ….
①k阶原点矩νk=E(Xk)=
②k阶中心矩
= k=1,2, ….
切比雪夫不等式
E（X）=μ， D（X）=σ2 :

期望E（X）
方差D（X）
E[X（X-1）}/备注
0-1分布
p

二项分布
np

n(n-1)p2
泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n
2n

t分布
0
(n>2)

二维随机变量的数字特征
期望

函数的期望
＝
＝
方差

协方差
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。
Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
X与Y的相关系数(标准协方差):=
X的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均方差”
若记
则E(X*)=0， D(X*)=1

||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：
1. 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。
2. 若（X，Y）～N（），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
完全相关
而当时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：① ②cov(X,Y)=0 ③E(XY)=E(X)E(Y)
④D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).
矩
1、A =E(X )为X的k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,…)，数学期望E(X)即为X的一阶原点矩；
2、B =E{[X-E(X)] }为X的k阶中心矩(k=1,2,…)，方差D(X)即为X的二阶中心矩。
3、=E(X Y )为X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2…)。
4、为随机变量的k+l阶混合中心矩(k,l=1,2,…)。
协方差矩阵C
C=(C ) =
第五章 大数定律和中心极限定理
大数定律
切比雪夫
若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则
伯努利

当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小
辛钦

中心极限定理
列维－林德伯格/独立同分布的中心极限
棣莫弗－拉普拉斯
随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

二项定理
若当，则
超几何分布的极限分布为二项分布。
泊松定理
若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。
第六章 样本及抽样分布
数理统计的基本概念
所研究的对象的全体称为总体,总体的每一个基本单位称为个体.
设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为
从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,…,Xn)。n称为样本容量。
当总体X是离散型时，其分布律为
样本的联合分布律为
当总体X是连续型时， X~f(x)，则样本的联合密度为

（）为样本函数，其中为一个连续函数。若中不包含未知参数，则（）为一个统计量。
常见统计量及其性质
样本均值 样本方差 样本标准差
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
，，，,其中为二阶中心矩。
正态
分布
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
t分布

定义 若X~N(0, 1)，Y~c2(n)，X与Y独立，则

t(n)称为自由度为n的t—分布。

p

3、(1) t分布表构成(P296)：
P{t(n)>λ}=p
(2) P{t(n)> tp(n)}=p，tp(n)为水平p的上侧分位数
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；
(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即

=

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设n个相互独立的 X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，
则

称为自由度为n的c2分布。

λ
（1）
求
解：
(2) c2分布的可加性
X1,X2 相互独立，则X1+X2 ~c2(n1+n2)
p

(1)构成 P{c2(n)>λ}=p，已知n,p可查表(P298)求得λ;
水平为的上侧分位数分位点

(2)
。。。。。。。。。。。样本函数其中表示自由度为n-1的分布。
F
分
布

若X~c2(n1)，Y~c2(n2) ，X,Y独立，则

称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F—分布，其概率密度为

F分布表(P294)及有关计算
(1)构成：P{F(n1,n2)>λ}=p
(2)有关计算P{F(n1,n2)>λ}=p λ=Fp(n1,n2)
性质：

样本函数 其中
表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。
正态总体的抽样分布定理
4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,…,Xn1)是N(μ1,σ12)的样本，(Y1,Y2,…,Yn2)是N(μ2,σ22)的样本，且相互独立，S12，S22是样本方差，则

(1)

(2) 称为混合样本方差。

1.若

则

2.设(X1,X2,…,Xn)是正态总体
N(μ,σ2)的样本，则

(1)
与S2独立

(2)

(3)

3.设(X1,X2,…,Xn)是正态总
体N(μ,σ2)的样本，则

第七章 参数估计
（1）点估计(用某个函数值作为总体未知函数的估计值)
矩估计
极大似然估计
样本的k阶原点矩为
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
样本的似然函数,简记为Ln.
为样本的似然函数。
最大似然估计量。

估计量的评选标准
无偏性
若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）
有效性
若，则称有效。
一致性
设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且则为的一致估计。
只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

区间估计(对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值)
置信区间和置信度
设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即
那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。
单正态总体的期望和方差的区间估计

设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：
（i）选择样本函数；
（ii）由置信度，查表找分位数；
（iii）导出置信区间。
已知方差，估计均值
（i）选择样本函数
(ii) 查表找分位数
（iii）导出置信区间
未知方差，估计均值
（i）选择样本函数
(ii)查表找分位数
（iii）导出置信区间
方差的区间估计
（i）选择样本函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出的置信区间
第八章 假设检验
基本步骤
1）提出零假设H0（2）选择统计量K（3）对于检验水平α查表找分位数λ（4）由样本值计算统计量之值K；
将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。
第一类错误(弃真错误)
当H0为真时，作出拒绝H0的判断, 记α=P{拒绝H0| H0真}；
第二类错误(取伪错误)
当H0不真时，作出接受H0的判断, β=P{接受H0| H0假}

单正态总体均值和方差的假设检验
条件
零假设
统计量
对应样本
函数分布
否定域
已知

N（0，1）

未知

未知